Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14210 / 10372
↖ ↑ ↗
← N 76.674722°
W101.942139°		 ← 140.79 m → N 76.674722°
W101.936645°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 76.673456°
W101.942139°		 ← 140.80 m →
19 824 m²		 N 76.673456°
W101.936645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216835021972656 y=0.158271789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216835021972656 × 216)
    floor (0.216835021972656 × 65536)
    floor (14210.5)     		tx = 14210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158271789550781 × 216)
    floor (0.158271789550781 × 65536)
    floor (10372.5)     		ty = 10372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14210 / 10372 ti = "16/14210/10372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14210/10372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14210 ÷ 216
    14210 ÷ 65536     		x = 0.216827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10372 ÷ 216
    10372 ÷ 65536     		y = 0.15826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.56634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77922597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15826416015625 × 2 - 1) × π
    0.6834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14718960778156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77922597} λ = -1.77922597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14718960778156))-π/2
    2×atan(8.56076544911668)-π/2
    2×1.45451133596676-π/2
    2.90902267193353-1.57079632675     		φ = 1.33822635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77922597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33822635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.674722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14210 KachelY 10372 -1.77922597 1.33822635 -101.942139 76.674722
    Oben rechts KachelX + 1 14211 KachelY 10372 -1.77913009 1.33822635 -101.936645 76.674722
    Unten links KachelX 14210 KachelY + 1 10373 -1.77922597 1.33820425 -101.942139 76.673456
    Unten rechts KachelX + 1 14211 KachelY + 1 10373 -1.77913009 1.33820425 -101.936645 76.673456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33822635-1.33820425) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33822635-1.33820425) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77922597--1.77913009) × cos(1.33822635) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230479067951438 × 6371000     		do = 140.788479767064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77922597--1.77913009) × cos(1.33820425) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230500572903112 × 6371000     		du = 140.801616098622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33822635)-sin(1.33820425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230479067951438-0.230500572903112)×R²
    abs(-1.77913009--1.77922597)×2.15049516746335e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.15049516746335e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.15049516746335e-05×40589641000000     		ar = 19823.8160342686m²