Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1421 / 2970
↖ ↑ ↗
← S 62.674144°
W 55.107422°		 ← 4 486.29 m → S 62.674144°
W 55.019531°		 →
↑
4 483.21 m
↓
↑
4 483.21 m
↓
S 62.714462°
W 55.107422°		 ← 4 480.18 m →
20 099 299 m²		 S 62.714462°
W 55.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3470458984375 y=0.7252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3470458984375 × 212)
    floor (0.3470458984375 × 4096)
    floor (1421.5)     		tx = 1421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7252197265625 × 212)
    floor (0.7252197265625 × 4096)
    floor (2970.5)     		ty = 2970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1421 / 2970 ti = "12/1421/2970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1421/2970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1421 ÷ 212
    1421 ÷ 4096     		x = 0.346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2970 ÷ 212
    2970 ÷ 4096     		y = 0.72509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.30615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96180595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72509765625 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41433028639014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96180595} λ = -0.96180595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41433028639014))-π/2
    2×atan(0.243088358528468)-π/2
    2×0.238463084773399-π/2
    0.476926169546799-1.57079632675     		φ = -1.09387016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96180595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09387016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.674144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1421 KachelY 2970 -0.96180595 -1.09387016 -55.107422 -62.674144
    Oben rechts KachelX + 1 1422 KachelY 2970 -0.96027197 -1.09387016 -55.019531 -62.674144
    Unten links KachelX 1421 KachelY + 1 2971 -0.96180595 -1.09457385 -55.107422 -62.714462
    Unten rechts KachelX + 1 1422 KachelY + 1 2971 -0.96027197 -1.09457385 -55.019531 -62.714462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09387016--1.09457385) × R
    0.000703689999999924 × 6371000     		dl = 4483.20898999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09387016--1.09457385) × R
    0.000703689999999924 × 6371000     		dr = 4483.20898999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96180595--0.96027197) × cos(-1.09387016) × R
    0.00153398000000005 × 0.459050523841437 × 6371000     		do = 4486.29460904447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96180595--0.96027197) × cos(-1.09457385) × R
    0.00153398000000005 × 0.458425244889664 × 6371000     		du = 4480.18376624003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09387016)-sin(-1.09457385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459050523841437-0.458425244889664)×R²
    abs(-0.96027197--0.96180595)×0.000625278951773223×R²
    0.00153398000000005×0.000625278951773223×6371000²
    0.00153398000000005×0.000625278951773223×40589641000000     		ar = 20099299.0597489m²