Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14208 / 10624
↖ ↑ ↗
← N 76.351896°
W101.953125°		 ← 144.12 m → N 76.351896°
W101.947632°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
N 76.350600°
W101.953125°		 ← 144.13 m →
20 770 m²		 N 76.350600°
W101.947632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216804504394531 y=0.162117004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216804504394531 × 216)
    floor (0.216804504394531 × 65536)
    floor (14208.5)     		tx = 14208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162117004394531 × 216)
    floor (0.162117004394531 × 65536)
    floor (10624.5)     		ty = 10624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14208 / 10624 ti = "16/14208/10624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14208/10624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14208 ÷ 216
    14208 ÷ 65536     		x = 0.216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10624 ÷ 216
    10624 ÷ 65536     		y = 0.162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216796875 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162109375 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12302941037305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77941771} λ = -1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12302941037305))-π/2
    2×atan(8.35641418943236)-π/2
    2×1.45169415482272-π/2
    2.90338830964543-1.57079632675     		φ = 1.33259198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33259198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.351896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14208 KachelY 10624 -1.77941771 1.33259198 -101.953125 76.351896
    Oben rechts KachelX + 1 14209 KachelY 10624 -1.77932184 1.33259198 -101.947632 76.351896
    Unten links KachelX 14208 KachelY + 1 10625 -1.77941771 1.33256936 -101.953125 76.350600
    Unten rechts KachelX + 1 14209 KachelY + 1 10625 -1.77932184 1.33256936 -101.947632 76.350600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33259198-1.33256936) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dl = 144.112019999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33259198-1.33256936) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dr = 144.112019999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77941771--1.77932184) × cos(1.33259198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235958057996113 × 6371000     		do = 144.120296056973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77941771--1.77932184) × cos(1.33256936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235980039220237 × 6371000     		du = 144.133721919838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33259198)-sin(1.33256936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235958057996113-0.235980039220237)×R²
    abs(-1.77932184--1.77941771)×2.19812241241402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19812241241402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19812241241402e-05×40589641000000     		ar = 20770.4344027951m²