Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14206 / 10390
↖ ↑ ↗
← N 76.651914°
W101.964111°		 ← 141.01 m → N 76.651914°
W101.958618°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
N 76.650645°
W101.964111°		 ← 141.02 m →
19 891 m²		 N 76.650645°
W101.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216773986816406 y=0.158546447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216773986816406 × 216)
    floor (0.216773986816406 × 65536)
    floor (14206.5)     		tx = 14206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158546447753906 × 216)
    floor (0.158546447753906 × 65536)
    floor (10390.5)     		ty = 10390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14206 / 10390 ti = "16/14206/10390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14206/10390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14206 ÷ 216
    14206 ÷ 65536     		x = 0.216766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10390 ÷ 216
    10390 ÷ 65536     		y = 0.158538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.56646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77960946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158538818359375 × 2 - 1) × π
    0.68292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14546387939523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77960946} λ = -1.77960946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14546387939523))-π/2
    2×atan(8.54600463341513)-π/2
    2×1.4543122967597-π/2
    2.9086245935194-1.57079632675     		φ = 1.33782827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77960946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33782827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.651914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14206 KachelY 10390 -1.77960946 1.33782827 -101.964111 76.651914
    Oben rechts KachelX + 1 14207 KachelY 10390 -1.77951359 1.33782827 -101.958618 76.651914
    Unten links KachelX 14206 KachelY + 1 10391 -1.77960946 1.33780613 -101.964111 76.650645
    Unten rechts KachelX + 1 14207 KachelY + 1 10391 -1.77951359 1.33780613 -101.958618 76.650645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33782827-1.33780613) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33782827-1.33780613) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77960946--1.77951359) × cos(1.33782827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230866412284393 × 6371000     		do = 141.010381127082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77960946--1.77951359) × cos(1.33780613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230887954125828 × 6371000     		du = 141.023538620374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33782827)-sin(1.33780613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230866412284393-0.230887954125828)×R²
    abs(-1.77951359--1.77960946)×2.154184143488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.154184143488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.154184143488e-05×40589641000000     		ar = 19890.9977978799m²