Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14204 / 4509
↖ ↑ ↗
← N 78.284895°
W 23.950195°		 ← 248.04 m → N 78.284895°
W 23.939209°		 →
↑
248.09 m
↓
↑
248.09 m
↓
N 78.282664°
W 23.950195°		 ← 248.08 m →
61 540 m²		 N 78.282664°
W 23.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433486938476562 y=0.137619018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433486938476562 × 215)
    floor (0.433486938476562 × 32768)
    floor (14204.5)     		tx = 14204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137619018554688 × 215)
    floor (0.137619018554688 × 32768)
    floor (4509.5)     		ty = 4509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14204 / 4509 ti = "15/14204/4509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14204/4509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14204 ÷ 215
    14204 ÷ 32768     		x = 0.4334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4509 ÷ 215
    4509 ÷ 32768     		y = 0.137603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137603759765625 × 2 - 1) × π
    0.72479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27700273195267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41800976} λ = -0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27700273195267))-π/2
    2×atan(9.74742094885636)-π/2
    2×1.4685627540209-π/2
    2.93712550804181-1.57079632675     		φ = 1.36632918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36632918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.284895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14204 KachelY 4509 -0.41800976 1.36632918 -23.950195 78.284895
    Oben rechts KachelX + 1 14205 KachelY 4509 -0.41781802 1.36632918 -23.939209 78.284895
    Unten links KachelX 14204 KachelY + 1 4510 -0.41800976 1.36629024 -23.950195 78.282664
    Unten rechts KachelX + 1 14205 KachelY + 1 4510 -0.41781802 1.36629024 -23.939209 78.282664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36632918-1.36629024) × R
    3.89399999998208e-05 × 6371000     		dl = 248.086739998858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36632918-1.36629024) × R
    3.89399999998208e-05 × 6371000     		dr = 248.086739998858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41800976--0.41781802) × cos(1.36632918) × R
    0.000191739999999996 × 0.203045435246203 × 6371000     		do = 248.035337205411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41800976--0.41781802) × cos(1.36629024) × R
    0.000191739999999996 × 0.203083563945454 × 6371000     		du = 248.081914291787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36632918)-sin(1.36629024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203045435246203-0.203083563945454)×R²
    abs(-0.41781802--0.41800976)×3.81286992503227e-05×R²
    0.000191739999999996×3.81286992503227e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.81286992503227e-05×40589641000000     		ar = 61540.0557986552m²