Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14204 / 2427
↖ ↑ ↗
← N 77.489848°
E132.099609°		 ← 529.24 m → N 77.489848°
E132.121582°		 →
↑
529.30 m
↓
↑
529.30 m
↓
N 77.485088°
E132.099609°		 ← 529.44 m →
280 183 m²		 N 77.485088°
E132.121582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866973876953125 y=0.148162841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866973876953125 × 214)
    floor (0.866973876953125 × 16384)
    floor (14204.5)     		tx = 14204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148162841796875 × 214)
    floor (0.148162841796875 × 16384)
    floor (2427.5)     		ty = 2427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14204 / 2427 ti = "14/14204/2427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14204/2427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14204 ÷ 214
    14204 ÷ 16384     		x = 0.866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2427 ÷ 214
    2427 ÷ 16384     		y = 0.14813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866943359375 × 2 - 1) × π
    0.73388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30557312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14813232421875 × 2 - 1) × π
    0.7037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21084981047699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30557312} λ = 2.30557312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21084981047699))-π/2
    2×atan(9.1234663168532)-π/2
    2×1.46162466028398-π/2
    2.92324932056795-1.57079632675     		φ = 1.35245299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30557312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.099609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35245299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.489848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14204 KachelY 2427 2.30557312 1.35245299 132.099609 77.489848
    Oben rechts KachelX + 1 14205 KachelY 2427 2.30595662 1.35245299 132.121582 77.489848
    Unten links KachelX 14204 KachelY + 1 2428 2.30557312 1.35236991 132.099609 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 14205 KachelY + 1 2428 2.30595662 1.35236991 132.121582 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35245299-1.35236991) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dl = 529.302680000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35245299-1.35236991) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dr = 529.302680000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30557312-2.30595662) × cos(1.35245299) × R
    0.00038349999999987 × 0.216612590955009 × 6371000     		do = 529.244886309488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30557312-2.30595662) × cos(1.35236991) × R
    0.00038349999999987 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 529.443052656994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35245299)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216612590955009-0.216693697692332)×R²
    abs(2.30595662-2.30557312)×8.11067373228391e-05×R²
    0.00038349999999987×8.11067373228391e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.11067373228391e-05×40589641000000     		ar = 280183.181850675m²