Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14204 / 18348
↖ ↑ ↗
← N 78.109619°
W140.987549°		 ← 62.93 m → N 78.109619°
W140.984802°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.109053°
W140.987549°		 ← 62.93 m →
3 961 m²		 N 78.109053°
W140.984802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108371734619141 y=0.139987945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108371734619141 × 217)
    floor (0.108371734619141 × 131072)
    floor (14204.5)     		tx = 14204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139987945556641 × 217)
    floor (0.139987945556641 × 131072)
    floor (18348.5)     		ty = 18348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14204 / 18348 ti = "17/14204/18348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14204/18348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14204 ÷ 217
    14204 ÷ 131072     		x = 0.108367919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18348 ÷ 217
    18348 ÷ 131072     		y = 0.139984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.78326416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46069693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139984130859375 × 2 - 1) × π
    0.72003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26204641927121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46069693} λ = -2.46069693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26204641927121))-π/2
    2×atan(9.60272026499085)-π/2
    2×1.4670331780796-π/2
    2.9340663561592-1.57079632675     		φ = 1.36327003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46069693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36327003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.109619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14204 KachelY 18348 -2.46069693 1.36327003 -140.987549 78.109619
    Oben rechts KachelX + 1 14205 KachelY 18348 -2.46064899 1.36327003 -140.984802 78.109619
    Unten links KachelX 14204 KachelY + 1 18349 -2.46069693 1.36326015 -140.987549 78.109053
    Unten rechts KachelX + 1 14205 KachelY + 1 18349 -2.46064899 1.36326015 -140.984802 78.109053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36327003-1.36326015) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dl = 62.9454800008198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36327003-1.36326015) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dr = 62.9454800008198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46069693--2.46064899) × cos(1.36327003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20603990630071 × 6371000     		do = 62.9298908513839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46069693--2.46064899) × cos(1.36326015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206049574301321 × 6371000     		du = 62.9328437076246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36327003)-sin(1.36326015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20603990630071-0.206049574301321)×R²
    abs(-2.46064899--2.46069693)×9.66800061030781e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66800061030781e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66800061030781e-06×40589641000000     		ar = 3961.2451204491m²