Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14204 / 10389
↖ ↑ ↗
← N 76.653182°
W101.975098°		 ← 141 m → N 76.653182°
W101.969605°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
N 76.651914°
W101.975098°		 ← 141.01 m →
19 880 m²		 N 76.651914°
W101.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216743469238281 y=0.158531188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216743469238281 × 216)
    floor (0.216743469238281 × 65536)
    floor (14204.5)     		tx = 14204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158531188964844 × 216)
    floor (0.158531188964844 × 65536)
    floor (10389.5)     		ty = 10389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14204 / 10389 ti = "16/14204/10389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14204/10389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14204 ÷ 216
    14204 ÷ 65536     		x = 0.21673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10389 ÷ 216
    10389 ÷ 65536     		y = 0.158523559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77980121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158523559570312 × 2 - 1) × π
    0.682952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14555975319447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77980121} λ = -1.77980121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14555975319447))-π/2
    2×atan(8.54682401062544)-π/2
    2×1.45432336326371-π/2
    2.90864672652743-1.57079632675     		φ = 1.33785040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77980121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33785040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.653182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14204 KachelY 10389 -1.77980121 1.33785040 -101.975098 76.653182
    Oben rechts KachelX + 1 14205 KachelY 10389 -1.77970534 1.33785040 -101.969605 76.653182
    Unten links KachelX 14204 KachelY + 1 10390 -1.77980121 1.33782827 -101.975098 76.651914
    Unten rechts KachelX + 1 14205 KachelY + 1 10390 -1.77970534 1.33782827 -101.969605 76.651914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33785040-1.33782827) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33785040-1.33782827) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77980121--1.77970534) × cos(1.33785040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230844880059698 × 6371000     		do = 140.997229507577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77980121--1.77970534) × cos(1.33782827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230866412284393 × 6371000     		du = 141.010381127082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33785040)-sin(1.33782827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230844880059698-0.230866412284393)×R²
    abs(-1.77970534--1.77980121)×2.15322246952809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15322246952809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15322246952809e-05×40589641000000     		ar = 19880.1589434645m²