Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14204 / 10388
↖ ↑ ↗
← N 76.654449°
W101.975098°		 ← 140.98 m → N 76.654449°
W101.969605°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
N 76.653182°
W101.975098°		 ← 141 m →
19 878 m²		 N 76.653182°
W101.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216743469238281 y=0.158515930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216743469238281 × 216)
    floor (0.216743469238281 × 65536)
    floor (14204.5)     		tx = 14204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158515930175781 × 216)
    floor (0.158515930175781 × 65536)
    floor (10388.5)     		ty = 10388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14204 / 10388 ti = "16/14204/10388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14204/10388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14204 ÷ 216
    14204 ÷ 65536     		x = 0.21673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10388 ÷ 216
    10388 ÷ 65536     		y = 0.15850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77980121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15850830078125 × 2 - 1) × π
    0.6829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14565562699371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77980121} λ = -1.77980121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14565562699371))-π/2
    2×atan(8.54764346639631)-π/2
    2×1.45433442873544-π/2
    2.90866885747089-1.57079632675     		φ = 1.33787253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77980121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33787253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.654449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14204 KachelY 10388 -1.77980121 1.33787253 -101.975098 76.654449
    Oben rechts KachelX + 1 14205 KachelY 10388 -1.77970534 1.33787253 -101.969605 76.654449
    Unten links KachelX 14204 KachelY + 1 10389 -1.77980121 1.33785040 -101.975098 76.653182
    Unten rechts KachelX + 1 14205 KachelY + 1 10389 -1.77970534 1.33785040 -101.969605 76.653182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33787253-1.33785040) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33787253-1.33785040) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77980121--1.77970534) × cos(1.33787253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230823347721949 × 6371000     		do = 140.984077819021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77980121--1.77970534) × cos(1.33785040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230844880059698 × 6371000     		du = 140.997229507577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33787253)-sin(1.33785040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230823347721949-0.230844880059698)×R²
    abs(-1.77970534--1.77980121)×2.15323377485144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15323377485144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15323377485144e-05×40589641000000     		ar = 19878.3046887221m²