Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14203 / 2428
↖ ↑ ↗
← N 77.485088°
E132.077637°		 ← 529.43 m → N 77.485088°
E132.099609°		 →
↑
529.56 m
↓
↑
529.56 m
↓
N 77.480326°
E132.077637°		 ← 529.63 m →
280 416 m²		 N 77.480326°
E132.099609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866912841796875 y=0.148223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866912841796875 × 214)
    floor (0.866912841796875 × 16384)
    floor (14203.5)     		tx = 14203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148223876953125 × 214)
    floor (0.148223876953125 × 16384)
    floor (2428.5)     		ty = 2428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14203 / 2428 ti = "14/14203/2428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14203/2428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14203 ÷ 214
    14203 ÷ 16384     		x = 0.86688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2428 ÷ 214
    2428 ÷ 16384     		y = 0.148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86688232421875 × 2 - 1) × π
    0.7337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30518963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    0.70361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21046631528003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30518963} λ = 2.30518963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21046631528003))-π/2
    2×atan(9.11996818214286)-π/2
    2×1.46158311756451-π/2
    2.92316623512901-1.57079632675     		φ = 1.35236991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30518963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35236991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.485088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14203 KachelY 2428 2.30518963 1.35236991 132.077637 77.485088
    Oben rechts KachelX + 1 14204 KachelY 2428 2.30557312 1.35236991 132.099609 77.485088
    Unten links KachelX 14203 KachelY + 1 2429 2.30518963 1.35228679 132.077637 77.480326
    Unten rechts KachelX + 1 14204 KachelY + 1 2429 2.30557312 1.35228679 132.099609 77.480326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35236991-1.35228679) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dl = 529.55751999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35236991-1.35228679) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dr = 529.55751999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30518963-2.30557312) × cos(1.35236991) × R
    0.000383489999999931 × 0.216693697692332 × 6371000     		do = 529.429247101598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30518963-2.30557312) × cos(1.35228679) × R
    0.000383489999999931 × 0.216774841982838 × 6371000     		du = 529.627500032287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35236991)-sin(1.35228679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216693697692332-0.216774841982838)×R²
    abs(2.30557312-2.30518963)×8.11442905061799e-05×R²
    0.000383489999999931×8.11442905061799e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.11442905061799e-05×40589641000000     		ar = 280415.732437569m²