Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14200 / 18393
↖ ↑ ↗
← N 78.084126°
W140.998535°		 ← 63.06 m → N 78.084126°
W140.995788°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.083559°
W140.998535°		 ← 63.07 m →
3 978 m²		 N 78.083559°
W140.995788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108341217041016 y=0.140331268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108341217041016 × 217)
    floor (0.108341217041016 × 131072)
    floor (14200.5)     		tx = 14200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140331268310547 × 217)
    floor (0.140331268310547 × 131072)
    floor (18393.5)     		ty = 18393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14200 / 18393 ti = "17/14200/18393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14200/18393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14200 ÷ 217
    14200 ÷ 131072     		x = 0.10833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18393 ÷ 217
    18393 ÷ 131072     		y = 0.140327453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.7833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46088868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140327453613281 × 2 - 1) × π
    0.719345092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.25988925878831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46088868} λ = -2.46088868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25988925878831))-π/2
    2×atan(9.58202798261778)-π/2
    2×1.46681071279871-π/2
    2.93362142559743-1.57079632675     		φ = 1.36282510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46088868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36282510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.084126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14200 KachelY 18393 -2.46088868 1.36282510 -140.998535 78.084126
    Oben rechts KachelX + 1 14201 KachelY 18393 -2.46084074 1.36282510 -140.995788 78.084126
    Unten links KachelX 14200 KachelY + 1 18394 -2.46088868 1.36281520 -140.998535 78.083559
    Unten rechts KachelX + 1 14201 KachelY + 1 18394 -2.46084074 1.36281520 -140.995788 78.083559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36282510-1.36281520) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36282510-1.36281520) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46088868--2.46084074) × cos(1.36282510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206475269291618 × 6371000     		do = 63.0628619150503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46088868--2.46084074) × cos(1.36281520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206484955954513 × 6371000     		du = 63.0658204712332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36282510)-sin(1.36281520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206475269291618-0.206484955954513)×R²
    abs(-2.46084074--2.46088868)×9.6866628950254e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6866628950254e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6866628950254e-06×40589641000000     		ar = 3977.65088570153m²