Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1420 / 2972
↖ ↑ ↗
← S 62.754726°
W 55.195312°		 ← 4 474.08 m → S 62.754726°
W 55.107422°		 →
↑
4 471.04 m
↓
↑
4 471.04 m
↓
S 62.794935°
W 55.195312°		 ← 4 467.98 m →
19 990 155 m²		 S 62.794935°
W 55.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3468017578125 y=0.7257080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3468017578125 × 212)
    floor (0.3468017578125 × 4096)
    floor (1420.5)     		tx = 1420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7257080078125 × 212)
    floor (0.7257080078125 × 4096)
    floor (2972.5)     		ty = 2972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1420 / 2972 ti = "12/1420/2972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1420/2972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1420 ÷ 212
    1420 ÷ 4096     		x = 0.3466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2972 ÷ 212
    2972 ÷ 4096     		y = 0.7255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96333993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7255859375 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96333993} λ = -0.96333993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41739824796582))-π/2
    2×atan(0.242343715636968)-π/2
    2×0.237759869098299-π/2
    0.475519738196597-1.57079632675     		φ = -1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96333993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1420 KachelY 2972 -0.96333993 -1.09527659 -55.195312 -62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 1421 KachelY 2972 -0.96180595 -1.09527659 -55.107422 -62.754726
    Unten links KachelX 1420 KachelY + 1 2973 -0.96333993 -1.09597837 -55.195312 -62.794935
    Unten rechts KachelX + 1 1421 KachelY + 1 2973 -0.96180595 -1.09597837 -55.107422 -62.794935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09527659--1.09597837) × R
    0.000701779999999985 × 6371000     		dl = 4471.04037999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09527659--1.09597837) × R
    0.000701779999999985 × 6371000     		dr = 4471.04037999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96333993--0.96180595) × cos(-1.09527659) × R
    0.00153397999999993 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 4474.07895922728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96333993--0.96180595) × cos(-1.09597837) × R
    0.00153397999999993 × 0.457176549904494 × 6371000     		du = 4467.98028690713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09527659)-sin(-1.09597837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.457176549904494)×R²
    abs(-0.96180595--0.96333993)×0.000624033632935728×R²
    0.00153397999999993×0.000624033632935728×6371000²
    0.00153397999999993×0.000624033632935728×40589641000000     		ar = 19990154.8053278m²