Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 142 / 73
↖ ↑ ↗
← N 82.261699°
W130.078125°		 ← 5 263.68 m → N 82.261699°
W129.726562°		 →
↑
5 279.71 m
↓
↑
5 279.71 m
↓
N 82.214217°
W130.078125°		 ← 5 295.78 m →
27 875 476 m²		 N 82.214217°
W129.726562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13916015625 y=0.07177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13916015625 × 210)
    floor (0.13916015625 × 1024)
    floor (142.5)     		tx = 142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07177734375 × 210)
    floor (0.07177734375 × 1024)
    floor (73.5)     		ty = 73
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 142 / 73 ti = "10/142/73"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/142/73.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 142 ÷ 210
    142 ÷ 1024     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73 ÷ 210
    73 ÷ 1024     		y = 0.0712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0712890625 × 2 - 1) × π
    0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6936702634502))-π/2
    2×atan(14.7858443976166)-π/2
    2×1.50326690901295-π/2
    3.0065338180259-1.57079632675     		φ = 1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 142 KachelY 73 -2.27029157 1.43573749 -130.078125 82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 143 KachelY 73 -2.26415564 1.43573749 -129.726562 82.261699
    Unten links KachelX 142 KachelY + 1 74 -2.27029157 1.43490878 -130.078125 82.214217
    Unten rechts KachelX + 1 143 KachelY + 1 74 -2.26415564 1.43490878 -129.726562 82.214217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43573749-1.43490878) × R
    0.000828709999999955 × 6371000     		dl = 5279.71140999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43573749-1.43490878) × R
    0.000828709999999955 × 6371000     		dr = 5279.71140999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.26415564) × cos(1.43573749) × R
    0.00613593000000012 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 5263.68489992801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.26415564) × cos(1.43490878) × R
    0.00613593000000012 × 0.135469729181416 × 6371000     		du = 5295.7840119214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43573749)-sin(1.43490878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.135469729181416)×R²
    abs(-2.26415564--2.27029157)×0.000821116948674566×R²
    0.00613593000000012×0.000821116948674566×6371000²
    0.00613593000000012×0.000821116948674566×40589641000000     		ar = 27875475.8440355m²