Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 142 / 59
↖ ↑ ↗
← N 82.896987°
W130.078125°		 ← 4 833.87 m → N 82.896987°
W129.726562°		 →
↑
4 848.59 m
↓
↑
4 848.59 m
↓
N 82.853382°
W130.078125°		 ← 4 863.39 m →
23 509 003 m²		 N 82.853382°
W129.726562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13916015625 y=0.05810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13916015625 × 210)
    floor (0.13916015625 × 1024)
    floor (142.5)     		tx = 142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05810546875 × 210)
    floor (0.05810546875 × 1024)
    floor (59.5)     		ty = 59
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 142 / 59 ti = "10/142/59"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/142/59.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 142 ÷ 210
    142 ÷ 1024     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59 ÷ 210
    59 ÷ 1024     		y = 0.0576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0576171875 × 2 - 1) × π
    0.884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.77957318756934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.77957318756934))-π/2
    2×atan(16.1121426174997)-π/2
    2×1.50881084403347-π/2
    3.01762168806695-1.57079632675     		φ = 1.44682536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44682536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.896987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 142 KachelY 59 -2.27029157 1.44682536 -130.078125 82.896987
    Oben rechts KachelX + 1 143 KachelY 59 -2.26415564 1.44682536 -129.726562 82.896987
    Unten links KachelX 142 KachelY + 1 60 -2.27029157 1.44606432 -130.078125 82.853382
    Unten rechts KachelX + 1 143 KachelY + 1 60 -2.26415564 1.44606432 -129.726562 82.853382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44682536-1.44606432) × R
    0.000761039999999991 × 6371000     		dl = 4848.58583999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44682536-1.44606432) × R
    0.000761039999999991 × 6371000     		dr = 4848.58583999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.26415564) × cos(1.44682536) × R
    0.00613593000000012 × 0.123653663210201 × 6371000     		do = 4833.8702424595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.26415564) × cos(1.44606432) × R
    0.00613593000000012 × 0.124408826678382 × 6371000     		du = 4863.39110033192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44682536)-sin(1.44606432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.123653663210201-0.124408826678382)×R²
    abs(-2.26415564--2.27029157)×0.000755163468181094×R²
    0.00613593000000012×0.000755163468181094×6371000²
    0.00613593000000012×0.000755163468181094×40589641000000     		ar = 23509003.1513677m²