Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14197 / 4502
↖ ↑ ↗
← N 78.300501°
W 24.027100°		 ← 247.72 m → N 78.300501°
W 24.016113°		 →
↑
247.77 m
↓
↑
247.77 m
↓
N 78.298272°
W 24.027100°		 ← 247.77 m →
61 384 m²		 N 78.298272°
W 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433273315429688 y=0.137405395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433273315429688 × 215)
    floor (0.433273315429688 × 32768)
    floor (14197.5)     		tx = 14197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137405395507812 × 215)
    floor (0.137405395507812 × 32768)
    floor (4502.5)     		ty = 4502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14197 / 4502 ti = "15/14197/4502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14197/4502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14197 ÷ 215
    14197 ÷ 32768     		x = 0.433258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4502 ÷ 215
    4502 ÷ 32768     		y = 0.13739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433258056640625 × 2 - 1) × π
    -0.13348388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41935200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13739013671875 × 2 - 1) × π
    0.7252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27834496514203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41935200} λ = -0.41935200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27834496514203))-π/2
    2×atan(9.76051304512211)-π/2
    2×1.46869893167252-π/2
    2.93739786334504-1.57079632675     		φ = 1.36660154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41935200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.027100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36660154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.300501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14197 KachelY 4502 -0.41935200 1.36660154 -24.027100 78.300501
    Oben rechts KachelX + 1 14198 KachelY 4502 -0.41916025 1.36660154 -24.016113 78.300501
    Unten links KachelX 14197 KachelY + 1 4503 -0.41935200 1.36656265 -24.027100 78.298272
    Unten rechts KachelX + 1 14198 KachelY + 1 4503 -0.41916025 1.36656265 -24.016113 78.298272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36660154-1.36656265) × R
    3.88899999999026e-05 × 6371000     		dl = 247.76818999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36660154-1.36656265) × R
    3.88899999999026e-05 × 6371000     		dr = 247.76818999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41935200--0.41916025) × cos(1.36660154) × R
    0.000191749999999991 × 0.202778741163388 × 6371000     		do = 247.722469270773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41935200--0.41916025) × cos(1.36656265) × R
    0.000191749999999991 × 0.202816823054031 × 6371000     		du = 247.768991603096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36660154)-sin(1.36656265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202778741163388-0.202816823054031)×R²
    abs(-0.41916025--0.41935200)×3.80818906424996e-05×R²
    0.000191749999999991×3.80818906424996e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.80818906424996e-05×40589641000000     		ar = 61383.511217907m²