Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14197 / 10391
↖ ↑ ↗
← N 76.650645°
W102.013550°		 ← 141.04 m → N 76.650645°
W102.008057°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
N 76.649377°
W102.013550°		 ← 141.05 m →
19 895 m²		 N 76.649377°
W102.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216636657714844 y=0.158561706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216636657714844 × 216)
    floor (0.216636657714844 × 65536)
    floor (14197.5)     		tx = 14197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158561706542969 × 216)
    floor (0.158561706542969 × 65536)
    floor (10391.5)     		ty = 10391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14197 / 10391 ti = "16/14197/10391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14197/10391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14197 ÷ 216
    14197 ÷ 65536     		x = 0.216629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10391 ÷ 216
    10391 ÷ 65536     		y = 0.158554077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216629028320312 × 2 - 1) × π
    -0.566741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78047233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158554077148438 × 2 - 1) × π
    0.682891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14536800559599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78047233} λ = -1.78047233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14536800559599))-π/2
    2×atan(8.54518533475787)-π/2
    2×1.45430122922332-π/2
    2.90860245844663-1.57079632675     		φ = 1.33780613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78047233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33780613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.650645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14197 KachelY 10391 -1.78047233 1.33780613 -102.013550 76.650645
    Oben rechts KachelX + 1 14198 KachelY 10391 -1.78037645 1.33780613 -102.008057 76.650645
    Unten links KachelX 14197 KachelY + 1 10392 -1.78047233 1.33778399 -102.013550 76.649377
    Unten rechts KachelX + 1 14198 KachelY + 1 10392 -1.78037645 1.33778399 -102.008057 76.649377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33780613-1.33778399) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33780613-1.33778399) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78047233--1.78037645) × cos(1.33780613) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230887954125828 × 6371000     		do = 141.038248491842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78047233--1.78037645) × cos(1.33778399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230909495854086 × 6371000     		du = 141.05140728843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33780613)-sin(1.33778399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230887954125828-0.230909495854086)×R²
    abs(-1.78037645--1.78047233)×2.15417282583008e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.15417282583008e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.15417282583008e-05×40589641000000     		ar = 19894.9286911239m²