Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14196 / 2418
↖ ↑ ↗
← N 77.532612°
E131.923828°		 ← 527.46 m → N 77.532612°
E131.945801°		 →
↑
527.52 m
↓
↑
527.52 m
↓
N 77.527868°
E131.923828°		 ← 527.66 m →
278 300 m²		 N 77.527868°
E131.945801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866485595703125 y=0.147613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866485595703125 × 214)
    floor (0.866485595703125 × 16384)
    floor (14196.5)     		tx = 14196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147613525390625 × 214)
    floor (0.147613525390625 × 16384)
    floor (2418.5)     		ty = 2418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14196 / 2418 ti = "14/14196/2418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14196/2418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14196 ÷ 214
    14196 ÷ 16384     		x = 0.866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2418 ÷ 214
    2418 ÷ 16384     		y = 0.1475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866455078125 × 2 - 1) × π
    0.73291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30250516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1475830078125 × 2 - 1) × π
    0.704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21430126724963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30250516} λ = 2.30250516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21430126724963))-π/2
    2×atan(9.15500997092796)-π/2
    2×1.46199784566072-π/2
    2.92399569132144-1.57079632675     		φ = 1.35319936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30250516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35319936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.532612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14196 KachelY 2418 2.30250516 1.35319936 131.923828 77.532612
    Oben rechts KachelX + 1 14197 KachelY 2418 2.30288866 1.35319936 131.945801 77.532612
    Unten links KachelX 14196 KachelY + 1 2419 2.30250516 1.35311656 131.923828 77.527868
    Unten rechts KachelX + 1 14197 KachelY + 1 2419 2.30288866 1.35311656 131.945801 77.527868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35319936-1.35311656) × R
    8.28000000001605e-05 × 6371000     		dl = 527.518800001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35319936-1.35311656) × R
    8.28000000001605e-05 × 6371000     		dr = 527.518800001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30250516-2.30288866) × cos(1.35319936) × R
    0.00038349999999987 × 0.215883881271695 × 6371000     		do = 527.464445607507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30250516-2.30288866) × cos(1.35311656) × R
    0.00038349999999987 × 0.215964728028427 × 6371000     		du = 527.661976750025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35319936)-sin(1.35311656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215883881271695-0.215964728028427)×R²
    abs(2.30288866-2.30250516)×8.08467567319227e-05×R²
    0.00038349999999987×8.08467567319227e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.08467567319227e-05×40589641000000     		ar = 278299.512244943m²