Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14196 / 18356
↖ ↑ ↗
← N 78.105091°
W141.009522°		 ← 62.95 m → N 78.105091°
W141.006775°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.104525°
W141.009522°		 ← 62.96 m →
3 963 m²		 N 78.104525°
W141.006775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108310699462891 y=0.140048980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108310699462891 × 217)
    floor (0.108310699462891 × 131072)
    floor (14196.5)     		tx = 14196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140048980712891 × 217)
    floor (0.140048980712891 × 131072)
    floor (18356.5)     		ty = 18356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14196 / 18356 ti = "17/14196/18356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14196/18356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14196 ÷ 217
    14196 ÷ 131072     		x = 0.108306884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18356 ÷ 217
    18356 ÷ 131072     		y = 0.140045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.78338623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46108043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140045166015625 × 2 - 1) × π
    0.71990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26166292407425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46108043} λ = -2.46108043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26166292407425))-π/2
    2×atan(9.59903837393037)-π/2
    2×1.46699366300841-π/2
    2.93398732601683-1.57079632675     		φ = 1.36319100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46108043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36319100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.105091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14196 KachelY 18356 -2.46108043 1.36319100 -141.009522 78.105091
    Oben rechts KachelX + 1 14197 KachelY 18356 -2.46103249 1.36319100 -141.006775 78.105091
    Unten links KachelX 14196 KachelY + 1 18357 -2.46108043 1.36318112 -141.009522 78.104525
    Unten rechts KachelX + 1 14197 KachelY + 1 18357 -2.46103249 1.36318112 -141.006775 78.104525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36319100-1.36318112) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dl = 62.9454800008198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36319100-1.36318112) × R
    9.88000000012867e-06 × 6371000     		dr = 62.9454800008198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46108043--2.46103249) × cos(1.36319100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206117239957091 × 6371000     		do = 62.9535105406107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46108043--2.46103249) × cos(1.36318112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206126907796788 × 6371000     		du = 62.9564633477044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36319100)-sin(1.36318112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206117239957091-0.206126907796788)×R²
    abs(-2.46103249--2.46108043)×9.66783969702512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66783969702512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66783969702512e-06×40589641000000     		ar = 3962.73187175032m²