Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14196 / 11020
↖ ↑ ↗
← N 50.652944°
W 24.038086°		 ← 774.54 m → N 50.652944°
W 24.027100°		 →
↑
774.59 m
↓
↑
774.59 m
↓
N 50.645977°
W 24.038086°		 ← 774.65 m →
599 992 m²		 N 50.645977°
W 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433242797851562 y=0.336318969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433242797851562 × 215)
    floor (0.433242797851562 × 32768)
    floor (14196.5)     		tx = 14196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336318969726562 × 215)
    floor (0.336318969726562 × 32768)
    floor (11020.5)     		ty = 11020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14196 / 11020 ti = "15/14196/11020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14196/11020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14196 ÷ 215
    14196 ÷ 32768     		x = 0.4332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11020 ÷ 215
    11020 ÷ 32768     		y = 0.3363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41954375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3363037109375 × 2 - 1) × π
    0.327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02853411824792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41954375} λ = -0.41954375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02853411824792))-π/2
    2×atan(2.79696281141383)-π/2
    2×1.22742848218056-π/2
    2.45485696436112-1.57079632675     		φ = 0.88406064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41954375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88406064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.652944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14196 KachelY 11020 -0.41954375 0.88406064 -24.038086 50.652944
    Oben rechts KachelX + 1 14197 KachelY 11020 -0.41935200 0.88406064 -24.027100 50.652944
    Unten links KachelX 14196 KachelY + 1 11021 -0.41954375 0.88393906 -24.038086 50.645977
    Unten rechts KachelX + 1 14197 KachelY + 1 11021 -0.41935200 0.88393906 -24.027100 50.645977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88406064-0.88393906) × R
    0.000121579999999955 × 6371000     		dl = 774.58617999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88406064-0.88393906) × R
    0.000121579999999955 × 6371000     		dr = 774.58617999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41954375--0.41935200) × cos(0.88406064) × R
    0.000191749999999991 × 0.634016206757387 × 6371000     		do = 774.539083310901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41954375--0.41935200) × cos(0.88393906) × R
    0.000191749999999991 × 0.63411022228753 × 6371000     		du = 774.653936372633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88406064)-sin(0.88393906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634016206757387-0.63411022228753)×R²
    abs(-0.41935200--0.41954375)×9.40155301428769e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40155301428769e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40155301428769e-05×40589641000000     		ar = 599991.752338755m²