Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14195 / 11157
↖ ↑ ↗
← N 49.688955°
W 24.049072°		 ← 790.28 m → N 49.688955°
W 24.038086°		 →
↑
790.32 m
↓
↑
790.32 m
↓
N 49.681847°
W 24.049072°		 ← 790.40 m →
624 623 m²		 N 49.681847°
W 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433212280273438 y=0.340499877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433212280273438 × 215)
    floor (0.433212280273438 × 32768)
    floor (14195.5)     		tx = 14195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340499877929688 × 215)
    floor (0.340499877929688 × 32768)
    floor (11157.5)     		ty = 11157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14195 / 11157 ti = "15/14195/11157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14195/11157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14195 ÷ 215
    14195 ÷ 32768     		x = 0.433197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11157 ÷ 215
    11157 ÷ 32768     		y = 0.340484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433197021484375 × 2 - 1) × π
    -0.13360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41973549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340484619140625 × 2 - 1) × π
    0.31903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00226469725613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41973549} λ = -0.41973549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00226469725613))-π/2
    2×atan(2.72444488995747)-π/2
    2×1.21901609564378-π/2
    2.43803219128755-1.57079632675     		φ = 0.86723586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41973549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.049072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86723586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.688955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14195 KachelY 11157 -0.41973549 0.86723586 -24.049072 49.688955
    Oben rechts KachelX + 1 14196 KachelY 11157 -0.41954375 0.86723586 -24.038086 49.688955
    Unten links KachelX 14195 KachelY + 1 11158 -0.41973549 0.86711181 -24.049072 49.681847
    Unten rechts KachelX + 1 14196 KachelY + 1 11158 -0.41954375 0.86711181 -24.038086 49.681847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86723586-0.86711181) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dl = 790.322549999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86723586-0.86711181) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dr = 790.322549999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41973549--0.41954375) × cos(0.86723586) × R
    0.000191739999999996 × 0.646936793350283 × 6371000     		do = 790.282162682723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41973549--0.41954375) × cos(0.86711181) × R
    0.000191739999999996 × 0.647031381909497 × 6371000     		du = 790.397709753023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86723586)-sin(0.86711181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646936793350283-0.647031381909497)×R²
    abs(-0.41954375--0.41973549)×9.45885592144036e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45885592144036e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45885592144036e-05×40589641000000     		ar = 624623.474558811m²