Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14193 / 11156
↖ ↑ ↗
← N 49.696062°
W 24.071045°		 ← 790.21 m → N 49.696062°
W 24.060059°		 →
↑
790.26 m
↓
↑
790.26 m
↓
N 49.688955°
W 24.071045°		 ← 790.32 m →
624 514 m²		 N 49.688955°
W 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433151245117188 y=0.340469360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433151245117188 × 215)
    floor (0.433151245117188 × 32768)
    floor (14193.5)     		tx = 14193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340469360351562 × 215)
    floor (0.340469360351562 × 32768)
    floor (11156.5)     		ty = 11156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14193 / 11156 ti = "15/14193/11156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14193/11156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14193 ÷ 215
    14193 ÷ 32768     		x = 0.433135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11156 ÷ 215
    11156 ÷ 32768     		y = 0.3404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.13372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42011899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42011899} λ = -0.42011899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00245644485461))-π/2
    2×atan(2.72496734581054)-π/2
    2×1.21907811539729-π/2
    2.43815623079457-1.57079632675     		φ = 0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42011899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.071045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14193 KachelY 11156 -0.42011899 0.86735990 -24.071045 49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 14194 KachelY 11156 -0.41992724 0.86735990 -24.060059 49.696062
    Unten links KachelX 14193 KachelY + 1 11157 -0.42011899 0.86723586 -24.071045 49.688955
    Unten rechts KachelX + 1 14194 KachelY + 1 11157 -0.41992724 0.86723586 -24.060059 49.688955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86735990-0.86723586) × R
    0.000124039999999992 × 6371000     		dl = 790.258839999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86735990-0.86723586) × R
    0.000124039999999992 × 6371000     		dr = 790.258839999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42011899--0.41992724) × cos(0.86735990) × R
    0.000191750000000046 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 790.207823084195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42011899--0.41992724) × cos(0.86723586) × R
    0.000191750000000046 × 0.646936793350283 × 6371000     		du = 790.323379026034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86735990)-sin(0.86723586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646936793350283)×R²
    abs(-0.41992724--0.42011899)×9.45908882995505e-05×R²
    0.000191750000000046×9.45908882995505e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.45908882995505e-05×40589641000000     		ar = 624514.377982141m²