Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14192 / 18352
↖ ↑ ↗
← N 78.107355°
W141.020508°		 ← 62.93 m → N 78.107355°
W141.017761°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.106789°
W141.020508°		 ← 62.93 m →
3 961 m²		 N 78.106789°
W141.017761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108280181884766 y=0.140018463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108280181884766 × 217)
    floor (0.108280181884766 × 131072)
    floor (14192.5)     		tx = 14192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140018463134766 × 217)
    floor (0.140018463134766 × 131072)
    floor (18352.5)     		ty = 18352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14192 / 18352 ti = "17/14192/18352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14192/18352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14192 ÷ 217
    14192 ÷ 131072     		x = 0.1082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18352 ÷ 217
    18352 ÷ 131072     		y = 0.1400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46127217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1400146484375 × 2 - 1) × π
    0.719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26185467167273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46127217} λ = -2.46127217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26185467167273))-π/2
    2×atan(9.60087914296217)-π/2
    2×1.46701342239758-π/2
    2.93402684479516-1.57079632675     		φ = 1.36323052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46127217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36323052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.107355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14192 KachelY 18352 -2.46127217 1.36323052 -141.020508 78.107355
    Oben rechts KachelX + 1 14193 KachelY 18352 -2.46122424 1.36323052 -141.017761 78.107355
    Unten links KachelX 14192 KachelY + 1 18353 -2.46127217 1.36322064 -141.020508 78.106789
    Unten rechts KachelX + 1 14193 KachelY + 1 18353 -2.46122424 1.36322064 -141.017761 78.106789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36323052-1.36322064) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36323052-1.36322064) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46127217--2.46122424) × cos(1.36323052) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206078568397113 × 6371000     		do = 62.9285699852747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46127217--2.46122424) × cos(1.36322064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206088236317284 × 6371000     		du = 62.931522201004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36323052)-sin(1.36322064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206078568397113-0.206088236317284)×R²
    abs(-2.46122424--2.46127217)×9.66792017118023e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.66792017118023e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.66792017118023e-06×40589641000000     		ar = 3961.16195773593m²