Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14191 / 11153
↖ ↑ ↗
← N 49.717376°
W 24.093017°		 ← 789.82 m → N 49.717376°
W 24.082031°		 →
↑
789.88 m
↓
↑
789.88 m
↓
N 49.710273°
W 24.093017°		 ← 789.94 m →
623 906 m²		 N 49.710273°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433090209960938 y=0.340377807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433090209960938 × 215)
    floor (0.433090209960938 × 32768)
    floor (14191.5)     		tx = 14191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340377807617188 × 215)
    floor (0.340377807617188 × 32768)
    floor (11153.5)     		ty = 11153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14191 / 11153 ti = "15/14191/11153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14191/11153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14191 ÷ 215
    14191 ÷ 32768     		x = 0.433074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11153 ÷ 215
    11153 ÷ 32768     		y = 0.340362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.13385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42050248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340362548828125 × 2 - 1) × π
    0.31927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00303168765005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42050248} λ = -0.42050248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00303168765005))-π/2
    2×atan(2.72653531458216)-π/2
    2×1.21926412024792-π/2
    2.43852824049583-1.57079632675     		φ = 0.86773191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42050248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.093017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86773191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.717376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14191 KachelY 11153 -0.42050248 0.86773191 -24.093017 49.717376
    Oben rechts KachelX + 1 14192 KachelY 11153 -0.42031074 0.86773191 -24.082031 49.717376
    Unten links KachelX 14191 KachelY + 1 11154 -0.42050248 0.86760793 -24.093017 49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 14192 KachelY + 1 11154 -0.42031074 0.86760793 -24.082031 49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86773191-0.86760793) × R
    0.000123980000000024 × 6371000     		dl = 789.87658000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86773191-0.86760793) × R
    0.000123980000000024 × 6371000     		dr = 789.87658000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42050248--0.42031074) × cos(0.86773191) × R
    0.000191739999999996 × 0.64655845400442 × 6371000     		do = 789.819992591997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42050248--0.42031074) × cos(0.86760793) × R
    0.000191739999999996 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 789.935523055747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86773191)-sin(0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64655845400442-0.646653028969264)×R²
    abs(-0.42031074--0.42050248)×9.45749648447736e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45749648447736e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45749648447736e-05×40589641000000     		ar = 623905.942768052m²