Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14191 / 11107
↖ ↑ ↗
← N 50.043030°
W 24.093017°		 ← 784.51 m → N 50.043030°
W 24.082031°		 →
↑
784.59 m
↓
↑
784.59 m
↓
N 50.035974°
W 24.093017°		 ← 784.63 m →
615 563 m²		 N 50.035974°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433090209960938 y=0.338973999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433090209960938 × 215)
    floor (0.433090209960938 × 32768)
    floor (14191.5)     		tx = 14191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338973999023438 × 215)
    floor (0.338973999023438 × 32768)
    floor (11107.5)     		ty = 11107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14191 / 11107 ti = "15/14191/11107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14191/11107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14191 ÷ 215
    14191 ÷ 32768     		x = 0.433074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11107 ÷ 215
    11107 ÷ 32768     		y = 0.338958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.13385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42050248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338958740234375 × 2 - 1) × π
    0.32208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01185207718015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42050248} λ = -0.42050248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01185207718015))-π/2
    2×atan(2.75069079187749)-π/2
    2×1.22210598173955-π/2
    2.4442119634791-1.57079632675     		φ = 0.87341564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42050248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.093017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87341564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.043030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14191 KachelY 11107 -0.42050248 0.87341564 -24.093017 50.043030
    Oben rechts KachelX + 1 14192 KachelY 11107 -0.42031074 0.87341564 -24.082031 50.043030
    Unten links KachelX 14191 KachelY + 1 11108 -0.42050248 0.87329249 -24.093017 50.035974
    Unten rechts KachelX + 1 14192 KachelY + 1 11108 -0.42031074 0.87329249 -24.082031 50.035974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87341564-0.87329249) × R
    0.000123150000000072 × 6371000     		dl = 784.588650000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87341564-0.87329249) × R
    0.000123150000000072 × 6371000     		dr = 784.588650000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42050248--0.42031074) × cos(0.87341564) × R
    0.000191739999999996 × 0.642212118363866 × 6371000     		do = 784.510615284866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42050248--0.42031074) × cos(0.87329249) × R
    0.000191739999999996 × 0.642306511290056 × 6371000     		du = 784.625923374649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87341564)-sin(0.87329249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642212118363866-0.642306511290056)×R²
    abs(-0.42031074--0.42050248)×9.43929261902898e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43929261902898e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43929261902898e-05×40589641000000     		ar = 615563.360044742m²