Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14187 / 11174
↖ ↑ ↗
← N 49.567978°
W 24.136963°		 ← 792.25 m → N 49.567978°
W 24.125977°		 →
↑
792.36 m
↓
↑
792.36 m
↓
N 49.560852°
W 24.136963°		 ← 792.36 m →
627 792 m²		 N 49.560852°
W 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432968139648438 y=0.341018676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432968139648438 × 215)
    floor (0.432968139648438 × 32768)
    floor (14187.5)     		tx = 14187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341018676757812 × 215)
    floor (0.341018676757812 × 32768)
    floor (11174.5)     		ty = 11174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14187 / 11174 ti = "15/14187/11174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14187/11174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14187 ÷ 215
    14187 ÷ 32768     		x = 0.432952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11174 ÷ 215
    11174 ÷ 32768     		y = 0.34100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432952880859375 × 2 - 1) × π
    -0.13409423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42126947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34100341796875 × 2 - 1) × π
    0.3179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.99900498808197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42126947} λ = -0.42126947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99900498808197))-π/2
    2×atan(2.71557845081269)-π/2
    2×1.21796037198515-π/2
    2.43592074397031-1.57079632675     		φ = 0.86512442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42126947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.136963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86512442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.567978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14187 KachelY 11174 -0.42126947 0.86512442 -24.136963 49.567978
    Oben rechts KachelX + 1 14188 KachelY 11174 -0.42107773 0.86512442 -24.125977 49.567978
    Unten links KachelX 14187 KachelY + 1 11175 -0.42126947 0.86500005 -24.136963 49.560852
    Unten rechts KachelX + 1 14188 KachelY + 1 11175 -0.42107773 0.86500005 -24.125977 49.560852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86512442-0.86500005) × R
    0.000124369999999985 × 6371000     		dl = 792.361269999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86512442-0.86500005) × R
    0.000124369999999985 × 6371000     		dr = 792.361269999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42126947--0.42107773) × cos(0.86512442) × R
    0.000191739999999996 × 0.648545415193541 × 6371000     		do = 792.247215779556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42126947--0.42107773) × cos(0.86500005) × R
    0.000191739999999996 × 0.648640077631817 × 6371000     		du = 792.362853098711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86512442)-sin(0.86500005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648545415193541-0.648640077631817)×R²
    abs(-0.42107773--0.42126947)×9.46624382762717e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46624382762717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46624382762717e-05×40589641000000     		ar = 627791.824124766m²