Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14185 / 18473
↖ ↑ ↗
← N 78.038673°
W141.039734°		 ← 63.29 m → N 78.038673°
W141.036988°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.038104°
W141.039734°		 ← 63.29 m →
4 008 m²		 N 78.038104°
W141.036988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108226776123047 y=0.140941619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108226776123047 × 217)
    floor (0.108226776123047 × 131072)
    floor (14185.5)     		tx = 14185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140941619873047 × 217)
    floor (0.140941619873047 × 131072)
    floor (18473.5)     		ty = 18473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14185 / 18473 ti = "17/14185/18473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14185/18473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14185 ÷ 217
    14185 ÷ 131072     		x = 0.108222961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18473 ÷ 217
    18473 ÷ 131072     		y = 0.140937805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108222961425781 × 2 - 1) × π
    -0.783554077148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.46160773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140937805175781 × 2 - 1) × π
    0.718124389648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2560543068187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46160773} λ = -2.46160773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2560543068187))-π/2
    2×atan(9.54535173630391)-π/2
    2×1.46641405774554-π/2
    2.93282811549108-1.57079632675     		φ = 1.36203179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46160773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.039734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36203179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.038673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14185 KachelY 18473 -2.46160773 1.36203179 -141.039734 78.038673
    Oben rechts KachelX + 1 14186 KachelY 18473 -2.46155980 1.36203179 -141.036988 78.038673
    Unten links KachelX 14185 KachelY + 1 18474 -2.46160773 1.36202185 -141.039734 78.038104
    Unten rechts KachelX + 1 14186 KachelY + 1 18474 -2.46155980 1.36202185 -141.036988 78.038104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36203179-1.36202185) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36203179-1.36202185) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46160773--2.46155980) × cos(1.36203179) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207251419851516 × 6371000     		do = 63.28671428628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46160773--2.46155980) × cos(1.36202185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207261144021142 × 6371000     		du = 63.2896836784572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36203179)-sin(1.36202185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207251419851516-0.207261144021142)×R²
    abs(-2.46155980--2.46160773)×9.72416962621847e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72416962621847e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72416962621847e-06×40589641000000     		ar = 4007.89861037898m²