Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14184 / 2334
↖ ↑ ↗
← N 77.924865°
E131.660156°		 ← 511.12 m → N 77.924865°
E131.682129°		 →
↑
511.21 m
↓
↑
511.21 m
↓
N 77.920268°
E131.660156°		 ← 511.31 m →
261 338 m²		 N 77.920268°
E131.682129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865753173828125 y=0.142486572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865753173828125 × 214)
    floor (0.865753173828125 × 16384)
    floor (14184.5)     		tx = 14184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142486572265625 × 214)
    floor (0.142486572265625 × 16384)
    floor (2334.5)     		ty = 2334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14184 / 2334 ti = "14/14184/2334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14184/2334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14184 ÷ 214
    14184 ÷ 16384     		x = 0.86572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2334 ÷ 214
    2334 ÷ 16384     		y = 0.1424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86572265625 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29790322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1424560546875 × 2 - 1) × π
    0.715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24651486379431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29790322} λ = 2.29790322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24651486379431))-π/2
    2×atan(9.45472733765277)-π/2
    2×1.46542089980649-π/2
    2.93084179961299-1.57079632675     		φ = 1.36004547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29790322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36004547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.924865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14184 KachelY 2334 2.29790322 1.36004547 131.660156 77.924865
    Oben rechts KachelX + 1 14185 KachelY 2334 2.29828672 1.36004547 131.682129 77.924865
    Unten links KachelX 14184 KachelY + 1 2335 2.29790322 1.35996523 131.660156 77.920268
    Unten rechts KachelX + 1 14185 KachelY + 1 2335 2.29828672 1.35996523 131.682129 77.920268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36004547-1.35996523) × R
    8.02399999999537e-05 × 6371000     		dl = 511.209039999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36004547-1.35996523) × R
    8.02399999999537e-05 × 6371000     		dr = 511.209039999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29790322-2.29828672) × cos(1.36004547) × R
    0.000383500000000314 × 0.209194202171659 × 6371000     		do = 511.119696491087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29790322-2.29828672) × cos(1.35996523) × R
    0.000383500000000314 × 0.209272666117159 × 6371000     		du = 511.311405762153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36004547)-sin(1.35996523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209194202171659-0.209272666117159)×R²
    abs(2.29828672-2.29790322)×7.84639454999847e-05×R²
    0.000383500000000314×7.84639454999847e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.84639454999847e-05×40589641000000     		ar = 261338.011264328m²