Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14182 / 11083
↖ ↑ ↗
← N 50.212065°
W 24.191894°		 ← 781.79 m → N 50.212065°
W 24.180908°		 →
↑
781.85 m
↓
↑
781.85 m
↓
N 50.205033°
W 24.191894°		 ← 781.90 m →
611 283 m²		 N 50.205033°
W 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432815551757812 y=0.338241577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432815551757812 × 215)
    floor (0.432815551757812 × 32768)
    floor (14182.5)     		tx = 14182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338241577148438 × 215)
    floor (0.338241577148438 × 32768)
    floor (11083.5)     		ty = 11083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14182 / 11083 ti = "15/14182/11083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14182/11083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14182 ÷ 215
    14182 ÷ 32768     		x = 0.43280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11083 ÷ 215
    11083 ÷ 32768     		y = 0.338226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338226318359375 × 2 - 1) × π
    0.32354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01645401954367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42222821} λ = -0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01645401954367))-π/2
    2×atan(2.76337848398397)-π/2
    2×1.22358108791917-π/2
    2.44716217583834-1.57079632675     		φ = 0.87636585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87636585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.212065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14182 KachelY 11083 -0.42222821 0.87636585 -24.191894 50.212065
    Oben rechts KachelX + 1 14183 KachelY 11083 -0.42203646 0.87636585 -24.180908 50.212065
    Unten links KachelX 14182 KachelY + 1 11084 -0.42222821 0.87624313 -24.191894 50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 14183 KachelY + 1 11084 -0.42203646 0.87624313 -24.180908 50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87636585-0.87624313) × R
    0.000122720000000021 × 6371000     		dl = 781.849120000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87636585-0.87624313) × R
    0.000122720000000021 × 6371000     		dr = 781.849120000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42222821--0.42203646) × cos(0.87636585) × R
    0.000191749999999991 × 0.639947911292213 × 6371000     		do = 781.785486390047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42222821--0.42203646) × cos(0.87624313) × R
    0.000191749999999991 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 781.900681441736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87636585)-sin(0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639947911292213-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.42203646--0.42222821)×9.4295473634598e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4295473634598e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4295473634598e-05×40589641000000     		ar = 611283.327905185m²