Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14181 / 21089
↖ ↑ ↗
← S 45.836454°
W 24.202881°		 ← 851.13 m → S 45.836454°
W 24.191894°		 →
↑
851.04 m
↓
↑
851.04 m
↓
S 45.844108°
W 24.202881°		 ← 851.01 m →
724 292 m²		 S 45.844108°
W 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432785034179688 y=0.643600463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432785034179688 × 215)
    floor (0.432785034179688 × 32768)
    floor (14181.5)     		tx = 14181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643600463867188 × 215)
    floor (0.643600463867188 × 32768)
    floor (21089.5)     		ty = 21089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14181 / 21089 ti = "15/14181/21089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14181/21089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14181 ÷ 215
    14181 ÷ 32768     		x = 0.432769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21089 ÷ 215
    21089 ÷ 32768     		y = 0.643585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.13446044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42241996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.28717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902172450849457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42241996} λ = -0.42241996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902172450849457))-π/2
    2×atan(0.405687365854985)-π/2
    2×0.385399643098998-π/2
    0.770799286197996-1.57079632675     		φ = -0.79999704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42241996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79999704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.836454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14181 KachelY 21089 -0.42241996 -0.79999704 -24.202881 -45.836454
    Oben rechts KachelX + 1 14182 KachelY 21089 -0.42222821 -0.79999704 -24.191894 -45.836454
    Unten links KachelX 14181 KachelY + 1 21090 -0.42241996 -0.80013062 -24.202881 -45.844108
    Unten rechts KachelX + 1 14182 KachelY + 1 21090 -0.42222821 -0.80013062 -24.191894 -45.844108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79999704--0.80013062) × R
    0.000133579999999967 × 6371000     		dl = 851.038179999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79999704--0.80013062) × R
    0.000133579999999967 × 6371000     		dr = 851.038179999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42241996--0.42222821) × cos(-0.79999704) × R
    0.000191749999999991 × 0.696708832718142 × 6371000     		do = 851.126855870125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42241996--0.42222821) × cos(-0.80013062) × R
    0.000191749999999991 × 0.696613002351378 × 6371000     		du = 851.009785732744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79999704)-sin(-0.80013062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696708832718142-0.696613002351378)×R²
    abs(-0.42222821--0.42241996)×9.58303667638605e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58303667638605e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58303667638605e-05×40589641000000     		ar = 724291.63586675m²