Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14181 / 18533
↖ ↑ ↗
← N 78.004471°
W141.050720°		 ← 63.48 m → N 78.004471°
W141.047973°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.003900°
W141.050720°		 ← 63.48 m →
4 028 m²		 N 78.003900°
W141.047973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108196258544922 y=0.141399383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108196258544922 × 217)
    floor (0.108196258544922 × 131072)
    floor (14181.5)     		tx = 14181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141399383544922 × 217)
    floor (0.141399383544922 × 131072)
    floor (18533.5)     		ty = 18533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14181 / 18533 ti = "17/14181/18533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14181/18533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14181 ÷ 217
    14181 ÷ 131072     		x = 0.108192443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18533 ÷ 217
    18533 ÷ 131072     		y = 0.141395568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108192443847656 × 2 - 1) × π
    -0.783615112304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.46179948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141395568847656 × 2 - 1) × π
    0.717208862304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2531780928415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46179948} λ = -2.46179948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2531780928415))-π/2
    2×atan(9.51793670686753)-π/2
    2×1.46611558833166-π/2
    2.93223117666333-1.57079632675     		φ = 1.36143485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46179948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.050720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36143485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.004471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14181 KachelY 18533 -2.46179948 1.36143485 -141.050720 78.004471
    Oben rechts KachelX + 1 14182 KachelY 18533 -2.46175154 1.36143485 -141.047973 78.004471
    Unten links KachelX 14181 KachelY + 1 18534 -2.46179948 1.36142489 -141.050720 78.003900
    Unten rechts KachelX + 1 14182 KachelY + 1 18534 -2.46175154 1.36142489 -141.047973 78.003900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36143485-1.36142489) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36143485-1.36142489) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46179948--2.46175154) × cos(1.36143485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207835361958388 × 6371000     		do = 63.4782692242668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46179948--2.46175154) × cos(1.36142489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207845104459744 × 6371000     		du = 63.481244834953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36143485)-sin(1.36142489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207835361958388-0.207845104459744)×R²
    abs(-2.46175154--2.46179948)×9.74250135624133e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74250135624133e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74250135624133e-06×40589641000000     		ar = 4028.11813909397m²