Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1418 / 697
↖ ↑ ↗
← N 81.563523°
W117.685547°		 ← 716.91 m → N 81.563523°
W117.641601°		 →
↑
717.18 m
↓
↑
717.18 m
↓
N 81.557073°
W117.685547°		 ← 717.46 m →
514 352 m²		 N 81.557073°
W117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17315673828125 y=0.08514404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17315673828125 × 213)
    floor (0.17315673828125 × 8192)
    floor (1418.5)     		tx = 1418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08514404296875 × 213)
    floor (0.08514404296875 × 8192)
    floor (697.5)     		ty = 697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1418 / 697 ti = "13/1418/697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1418/697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1418 ÷ 213
    1418 ÷ 8192     		x = 0.173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 697 ÷ 213
    697 ÷ 8192     		y = 0.0850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0850830078125 × 2 - 1) × π
    0.829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60700034893713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.05400027} λ = -2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60700034893713))-π/2
    2×atan(13.5583195648547)-π/2
    2×1.49717417901975-π/2
    2.9943483580395-1.57079632675     		φ = 1.42355203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42355203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.563523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1418 KachelY 697 -2.05400027 1.42355203 -117.685547 81.563523
    Oben rechts KachelX + 1 1419 KachelY 697 -2.05323328 1.42355203 -117.641601 81.563523
    Unten links KachelX 1418 KachelY + 1 698 -2.05400027 1.42343946 -117.685547 81.557073
    Unten rechts KachelX + 1 1419 KachelY + 1 698 -2.05323328 1.42343946 -117.641601 81.557073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42355203-1.42343946) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dl = 717.183469999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42355203-1.42343946) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dr = 717.183469999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.05400027--2.05323328) × cos(1.42355203) × R
    0.000766989999999801 × 0.146712808884839 × 6371000     		do = 716.91115617263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.05400027--2.05323328) × cos(1.42343946) × R
    0.000766989999999801 × 0.146824159849722 × 6371000     		du = 717.455271915368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42355203)-sin(1.42343946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146712808884839-0.146824159849722)×R²
    abs(-2.05323328--2.05400027)×0.000111350964883572×R²
    0.000766989999999801×0.000111350964883572×6371000²
    0.000766989999999801×0.000111350964883572×40589641000000     		ar = 514351.946617476m²