Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14179 / 11018
↖ ↑ ↗
← N 50.666872°
W 24.224853°		 ← 774.27 m → N 50.666872°
W 24.213867°		 →
↑
774.33 m
↓
↑
774.33 m
↓
N 50.659908°
W 24.224853°		 ← 774.38 m →
599 585 m²		 N 50.659908°
W 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432723999023438 y=0.336257934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432723999023438 × 215)
    floor (0.432723999023438 × 32768)
    floor (14179.5)     		tx = 14179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336257934570312 × 215)
    floor (0.336257934570312 × 32768)
    floor (11018.5)     		ty = 11018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14179 / 11018 ti = "15/14179/11018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14179/11018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14179 ÷ 215
    14179 ÷ 32768     		x = 0.432708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11018 ÷ 215
    11018 ÷ 32768     		y = 0.33624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432708740234375 × 2 - 1) × π
    -0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33624267578125 × 2 - 1) × π
    0.3275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02891761344489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42280345} λ = -0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02891761344489))-π/2
    2×atan(2.79803563891703)-π/2
    2×1.22755003523972-π/2
    2.45510007047944-1.57079632675     		φ = 0.88430374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88430374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.666872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14179 KachelY 11018 -0.42280345 0.88430374 -24.224853 50.666872
    Oben rechts KachelX + 1 14180 KachelY 11018 -0.42261171 0.88430374 -24.213867 50.666872
    Unten links KachelX 14179 KachelY + 1 11019 -0.42280345 0.88418220 -24.224853 50.659908
    Unten rechts KachelX + 1 14180 KachelY + 1 11019 -0.42261171 0.88418220 -24.213867 50.659908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88430374-0.88418220) × R
    0.000121539999999976 × 6371000     		dl = 774.331339999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88430374-0.88418220) × R
    0.000121539999999976 × 6371000     		dr = 774.331339999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42280345--0.42261171) × cos(0.88430374) × R
    0.000191740000000051 × 0.633828193991419 × 6371000     		do = 774.269018342499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42280345--0.42261171) × cos(0.88418220) × R
    0.000191740000000051 × 0.633922197323346 × 6371000     		du = 774.38385051346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88430374)-sin(0.88418220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633828193991419-0.633922197323346)×R²
    abs(-0.42261171--0.42280345)×9.4003331926773e-05×R²
    0.000191740000000051×9.4003331926773e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.4003331926773e-05×40589641000000     		ar = 599585.22630649m²