Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14177 / 10654
↖ ↑ ↗
← N 53.133590°
W 24.246826°		 ← 732.92 m → N 53.133590°
W 24.235840°		 →
↑
732.98 m
↓
↑
732.98 m
↓
N 53.126998°
W 24.246826°		 ← 733.04 m →
537 262 m²		 N 53.126998°
W 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432662963867188 y=0.325149536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432662963867188 × 215)
    floor (0.432662963867188 × 32768)
    floor (14177.5)     		tx = 14177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325149536132812 × 215)
    floor (0.325149536132812 × 32768)
    floor (10654.5)     		ty = 10654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14177 / 10654 ti = "15/14177/10654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14177/10654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14177 ÷ 215
    14177 ÷ 32768     		x = 0.432647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10654 ÷ 215
    10654 ÷ 32768     		y = 0.32513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32513427734375 × 2 - 1) × π
    0.3497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09871373929169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42318695} λ = -0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09871373929169))-π/2
    2×atan(3.0003043673096)-π/2
    2×1.24907620635027-π/2
    2.49815241270055-1.57079632675     		φ = 0.92735609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92735609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.133590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14177 KachelY 10654 -0.42318695 0.92735609 -24.246826 53.133590
    Oben rechts KachelX + 1 14178 KachelY 10654 -0.42299520 0.92735609 -24.235840 53.133590
    Unten links KachelX 14177 KachelY + 1 10655 -0.42318695 0.92724104 -24.246826 53.126998
    Unten rechts KachelX + 1 14178 KachelY + 1 10655 -0.42299520 0.92724104 -24.235840 53.126998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92735609-0.92724104) × R
    0.000115050000000005 × 6371000     		dl = 732.983550000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92735609-0.92724104) × R
    0.000115050000000005 × 6371000     		dr = 732.983550000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42318695--0.42299520) × cos(0.92735609) × R
    0.000191749999999991 × 0.5999513012897 × 6371000     		do = 732.924057744037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42318695--0.42299520) × cos(0.92724104) × R
    0.000191749999999991 × 0.600043341520692 × 6371000     		du = 733.036497702796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92735609)-sin(0.92724104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5999513012897-0.600043341520692)×R²
    abs(-0.42299520--0.42318695)×9.20402309919632e-05×R²
    0.000191749999999991×9.20402309919632e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.20402309919632e-05×40589641000000     		ar = 537262.486638317m²