Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14175 / 3499
↖ ↑ ↗
← N 80.336731°
W 24.268799°		 ← 205.06 m → N 80.336731°
W 24.257813°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
N 80.334887°
W 24.268799°		 ← 205.10 m →
42 058 m²		 N 80.334887°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432601928710938 y=0.106796264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432601928710938 × 215)
    floor (0.432601928710938 × 32768)
    floor (14175.5)     		tx = 14175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106796264648438 × 215)
    floor (0.106796264648438 × 32768)
    floor (3499.5)     		ty = 3499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14175 / 3499 ti = "15/14175/3499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14175/3499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14175 ÷ 215
    14175 ÷ 32768     		x = 0.432586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3499 ÷ 215
    3499 ÷ 32768     		y = 0.106781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106781005859375 × 2 - 1) × π
    0.78643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47066780641769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42357045} λ = -0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47066780641769))-π/2
    2×atan(11.8303445943148)-π/2
    2×1.48646839639714-π/2
    2.97293679279429-1.57079632675     		φ = 1.40214047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40214047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.336731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14175 KachelY 3499 -0.42357045 1.40214047 -24.268799 80.336731
    Oben rechts KachelX + 1 14176 KachelY 3499 -0.42337870 1.40214047 -24.257813 80.336731
    Unten links KachelX 14175 KachelY + 1 3500 -0.42357045 1.40210828 -24.268799 80.334887
    Unten rechts KachelX + 1 14176 KachelY + 1 3500 -0.42337870 1.40210828 -24.257813 80.334887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40214047-1.40210828) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40214047-1.40210828) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42357045--0.42337870) × cos(1.40214047) × R
    0.000191749999999991 × 0.167857429565791 × 6371000     		do = 205.06122436167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42357045--0.42337870) × cos(1.40210828) × R
    0.000191749999999991 × 0.16788916274398 × 6371000     		du = 205.099990857673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40214047)-sin(1.40210828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167857429565791-0.16788916274398)×R²
    abs(-0.42337870--0.42357045)×3.17331781892749e-05×R²
    0.000191749999999991×3.17331781892749e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.17331781892749e-05×40589641000000     		ar = 42058.4416628701m²