Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14175 / 18463
↖ ↑ ↗
← N 78.044364°
W141.067200°		 ← 63.27 m → N 78.044364°
W141.064453°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.043795°
W141.067200°		 ← 63.27 m →
4 007 m²		 N 78.043795°
W141.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108150482177734 y=0.140865325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108150482177734 × 217)
    floor (0.108150482177734 × 131072)
    floor (14175.5)     		tx = 14175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140865325927734 × 217)
    floor (0.140865325927734 × 131072)
    floor (18463.5)     		ty = 18463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14175 / 18463 ti = "17/14175/18463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14175/18463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14175 ÷ 217
    14175 ÷ 131072     		x = 0.108146667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18463 ÷ 217
    18463 ÷ 131072     		y = 0.140861511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108146667480469 × 2 - 1) × π
    -0.783706665039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.46208710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140861511230469 × 2 - 1) × π
    0.718276977539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.2565336758149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46208710} λ = -2.46208710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2565336758149))-π/2
    2×atan(9.54992857889469)-π/2
    2×1.46646372105233-π/2
    2.93292744210466-1.57079632675     		φ = 1.36213112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46208710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.067200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36213112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.044364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14175 KachelY 18463 -2.46208710 1.36213112 -141.067200 78.044364
    Oben rechts KachelX + 1 14176 KachelY 18463 -2.46203916 1.36213112 -141.064453 78.044364
    Unten links KachelX 14175 KachelY + 1 18464 -2.46208710 1.36212118 -141.067200 78.043795
    Unten rechts KachelX + 1 14176 KachelY + 1 18464 -2.46203916 1.36212118 -141.064453 78.043795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36213112-1.36212118) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36213112-1.36212118) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46208710--2.46203916) × cos(1.36213112) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.207154245510748 × 6371000     		do = 63.2702387298066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46208710--2.46203916) × cos(1.36212118) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.207163969884959 × 6371000     		du = 63.273208803996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36213112)-sin(1.36212118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207154245510748-0.207163969884959)×R²
    abs(-2.46203916--2.46208710)×9.72437421073447e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.72437421073447e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.72437421073447e-06×40589641000000     		ar = 4006.85527204896m²