Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14170 / 7551
↖ ↑ ↗
← N 69.166466°
W 24.323730°		 ← 434.46 m → N 69.166466°
W 24.312744°		 →
↑
434.57 m
↓
↑
434.57 m
↓
N 69.162558°
W 24.323730°		 ← 434.54 m →
188 818 m²		 N 69.162558°
W 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432449340820312 y=0.230453491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432449340820312 × 215)
    floor (0.432449340820312 × 32768)
    floor (14170.5)     		tx = 14170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230453491210938 × 215)
    floor (0.230453491210938 × 32768)
    floor (7551.5)     		ty = 7551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14170 / 7551 ti = "15/14170/7551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14170/7551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14170 ÷ 215
    14170 ÷ 32768     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7551 ÷ 215
    7551 ÷ 32768     		y = 0.230438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230438232421875 × 2 - 1) × π
    0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69370653737582))-π/2
    2×atan(5.43960548650929)-π/2
    2×1.38898944164739-π/2
    2.77797888329478-1.57079632675     		φ = 1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14170 KachelY 7551 -0.42452918 1.20718256 -24.323730 69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 14171 KachelY 7551 -0.42433744 1.20718256 -24.312744 69.166466
    Unten links KachelX 14170 KachelY + 1 7552 -0.42452918 1.20711435 -24.323730 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 14171 KachelY + 1 7552 -0.42433744 1.20711435 -24.312744 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20718256-1.20711435) × R
    6.8210000000013e-05 × 6371000     		dl = 434.565910000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20718256-1.20711435) × R
    6.8210000000013e-05 × 6371000     		dr = 434.565910000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42433744) × cos(1.20718256) × R
    0.000191739999999996 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 434.458274197115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42433744) × cos(1.20711435) × R
    0.000191739999999996 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 434.53614895913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20718256)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.42433744--0.42452918)×6.37494444385989e-05×R²
    0.000191739999999996×6.37494444385989e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.37494444385989e-05×40589641000000     		ar = 188817.676215299m²