Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1417 / 2978
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
W 55.458985°		 ← 4 437.58 m → S 62.995159°
W 55.371094°		 →
↑
4 434.53 m
↓
↑
4 434.53 m
↓
S 63.035039°
W 55.458985°		 ← 4 431.52 m →
19 665 157 m²		 S 63.035039°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3460693359375 y=0.7271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3460693359375 × 212)
    floor (0.3460693359375 × 4096)
    floor (1417.5)     		tx = 1417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7271728515625 × 212)
    floor (0.7271728515625 × 4096)
    floor (2978.5)     		ty = 2978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1417 / 2978 ti = "12/1417/2978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1417/2978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1417 ÷ 212
    1417 ÷ 4096     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2978 ÷ 212
    2978 ÷ 4096     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1417 KachelY 2978 -0.96794188 -1.09947293 -55.458985 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 1418 KachelY 2978 -0.96640790 -1.09947293 -55.371094 -62.995159
    Unten links KachelX 1417 KachelY + 1 2979 -0.96794188 -1.10016898 -55.458985 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 1418 KachelY + 1 2979 -0.96640790 -1.10016898 -55.371094 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.10016898) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dl = 4434.53455000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.10016898) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dr = 4434.53455000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96640790) × cos(-1.09947293) × R
    0.00153398000000005 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 4437.57884339385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96640790) × cos(-1.10016898) × R
    0.00153398000000005 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 4431.51696931488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.96640790--0.96794188)×0.000620268331420482×R²
    0.00153398000000005×0.000620268331420482×6371000²
    0.00153398000000005×0.000620268331420482×40589641000000     		ar = 19665156.6983142m²