Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1417 / 2953
↖ ↑ ↗
← S 61.980267°
W 55.458985°		 ← 4 591.11 m → S 61.980267°
W 55.371094°		 →
↑
4 588.01 m
↓
↑
4 588.01 m
↓
S 62.021528°
W 55.458985°		 ← 4 584.90 m →
21 049 817 m²		 S 62.021528°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3460693359375 y=0.7210693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3460693359375 × 212)
    floor (0.3460693359375 × 4096)
    floor (1417.5)     		tx = 1417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7210693359375 × 212)
    floor (0.7210693359375 × 4096)
    floor (2953.5)     		ty = 2953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1417 / 2953 ti = "12/1417/2953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1417/2953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1417 ÷ 212
    1417 ÷ 4096     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2953 ÷ 212
    2953 ÷ 4096     		y = 0.720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38825261299683))-π/2
    2×atan(0.249510916061829)-π/2
    2×0.244518295886229-π/2
    0.489036591772458-1.57079632675     		φ = -1.08175973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08175973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.980267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1417 KachelY 2953 -0.96794188 -1.08175973 -55.458985 -61.980267
    Oben rechts KachelX + 1 1418 KachelY 2953 -0.96640790 -1.08175973 -55.371094 -61.980267
    Unten links KachelX 1417 KachelY + 1 2954 -0.96794188 -1.08247987 -55.458985 -62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 1418 KachelY + 1 2954 -0.96640790 -1.08247987 -55.371094 -62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08175973--1.08247987) × R
    0.000720140000000091 × 6371000     		dl = 4588.01194000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08175973--1.08247987) × R
    0.000720140000000091 × 6371000     		dr = 4588.01194000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96640790) × cos(-1.08175973) × R
    0.00153398000000005 × 0.46977562759401 × 6371000     		do = 4591.11090408748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96640790) × cos(-1.08247987) × R
    0.00153398000000005 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 4584.89673922032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08175973)-sin(-1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46977562759401-0.469139776432619)×R²
    abs(-0.96640790--0.96794188)×0.000635851161391199×R²
    0.00153398000000005×0.000635851161391199×6371000²
    0.00153398000000005×0.000635851161391199×40589641000000     		ar = 21049817.2242212m²