Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14169 / 11177
↖ ↑ ↗
← N 49.546598°
W 24.334717°		 ← 792.64 m → N 49.546598°
W 24.323730°		 →
↑
792.68 m
↓
↑
792.68 m
↓
N 49.539469°
W 24.334717°		 ← 792.75 m →
628 352 m²		 N 49.539469°
W 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432418823242188 y=0.341110229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432418823242188 × 215)
    floor (0.432418823242188 × 32768)
    floor (14169.5)     		tx = 14169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341110229492188 × 215)
    floor (0.341110229492188 × 32768)
    floor (11177.5)     		ty = 11177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14169 / 11177 ti = "15/14169/11177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14169/11177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14169 ÷ 215
    14169 ÷ 32768     		x = 0.432403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11177 ÷ 215
    11177 ÷ 32768     		y = 0.341094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341094970703125 × 2 - 1) × π
    0.31781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99842974528653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42472093} λ = -0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99842974528653))-π/2
    2×atan(2.71401678308553)-π/2
    2×1.21777379560578-π/2
    2.43554759121156-1.57079632675     		φ = 0.86475126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86475126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.546598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14169 KachelY 11177 -0.42472093 0.86475126 -24.334717 49.546598
    Oben rechts KachelX + 1 14170 KachelY 11177 -0.42452918 0.86475126 -24.323730 49.546598
    Unten links KachelX 14169 KachelY + 1 11178 -0.42472093 0.86462684 -24.334717 49.539469
    Unten rechts KachelX + 1 14170 KachelY + 1 11178 -0.42452918 0.86462684 -24.323730 49.539469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86475126-0.86462684) × R
    0.000124420000000014 × 6371000     		dl = 792.679820000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86475126-0.86462684) × R
    0.000124420000000014 × 6371000     		dr = 792.679820000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42472093--0.42452918) × cos(0.86475126) × R
    0.000191749999999991 × 0.648829410454308 × 6371000     		do = 792.635474365303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42472093--0.42452918) × cos(0.86462684) × R
    0.000191749999999991 × 0.648924080827522 × 6371000     		du = 792.751127409035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86475126)-sin(0.86462684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648829410454308-0.648924080827522)×R²
    abs(-0.42452918--0.42472093)×9.46703732147558e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46703732147558e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46703732147558e-05×40589641000000     		ar = 628351.983873491m²