Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14168 / 18387
↖ ↑ ↗
← N 78.087529°
W141.086426°		 ← 63.05 m → N 78.087529°
W141.083679°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.086961°
W141.086426°		 ← 63.05 m →
3 977 m²		 N 78.086961°
W141.083679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108097076416016 y=0.140285491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108097076416016 × 217)
    floor (0.108097076416016 × 131072)
    floor (14168.5)     		tx = 14168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140285491943359 × 217)
    floor (0.140285491943359 × 131072)
    floor (18387.5)     		ty = 18387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14168 / 18387 ti = "17/14168/18387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14168/18387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14168 ÷ 217
    14168 ÷ 131072     		x = 0.10809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18387 ÷ 217
    18387 ÷ 131072     		y = 0.140281677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.7838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46242266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140281677246094 × 2 - 1) × π
    0.719436645507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.26017688018603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46242266} λ = -2.46242266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26017688018603))-π/2
    2×atan(9.58478437527889)-π/2
    2×1.46684040197382-π/2
    2.93368080394765-1.57079632675     		φ = 1.36288448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46242266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36288448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.087529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14168 KachelY 18387 -2.46242266 1.36288448 -141.086426 78.087529
    Oben rechts KachelX + 1 14169 KachelY 18387 -2.46237472 1.36288448 -141.083679 78.087529
    Unten links KachelX 14168 KachelY + 1 18388 -2.46242266 1.36287458 -141.086426 78.086961
    Unten rechts KachelX + 1 14169 KachelY + 1 18388 -2.46237472 1.36287458 -141.083679 78.086961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36288448-1.36287458) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36288448-1.36287458) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46242266--2.46237472) × cos(1.36288448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206417168458593 × 6371000     		do = 63.0451164251292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46242266--2.46237472) × cos(1.36287458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206426855242853 × 6371000     		du = 63.0480750183799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36288448)-sin(1.36287458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206417168458593-0.206426855242853)×R²
    abs(-2.46237472--2.46242266)×9.68678425974923e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.68678425974923e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.68678425974923e-06×40589641000000     		ar = 3976.53162731825m²