Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14164 / 7553
↖ ↑ ↗
← N 69.158650°
W 24.389649°		 ← 434.64 m → N 69.158650°
W 24.378662°		 →
↑
434.69 m
↓
↑
434.69 m
↓
N 69.154740°
W 24.389649°		 ← 434.71 m →
188 951 m²		 N 69.154740°
W 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432266235351562 y=0.230514526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432266235351562 × 215)
    floor (0.432266235351562 × 32768)
    floor (14164.5)     		tx = 14164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230514526367188 × 215)
    floor (0.230514526367188 × 32768)
    floor (7553.5)     		ty = 7553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14164 / 7553 ti = "15/14164/7553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14164/7553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14164 ÷ 215
    14164 ÷ 32768     		x = 0.4322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7553 ÷ 215
    7553 ÷ 32768     		y = 0.230499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42567967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230499267578125 × 2 - 1) × π
    0.53900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69332304217886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42567967} λ = -0.42567967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69332304217886))-π/2
    2×atan(5.43751982387822)-π/2
    2×1.38892123361632-π/2
    2.77784246723263-1.57079632675     		φ = 1.20704614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42567967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20704614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.158650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14164 KachelY 7553 -0.42567967 1.20704614 -24.389649 69.158650
    Oben rechts KachelX + 1 14165 KachelY 7553 -0.42548792 1.20704614 -24.378662 69.158650
    Unten links KachelX 14164 KachelY + 1 7554 -0.42567967 1.20697791 -24.389649 69.154740
    Unten rechts KachelX + 1 14165 KachelY + 1 7554 -0.42548792 1.20697791 -24.378662 69.154740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20704614-1.20697791) × R
    6.82300000001135e-05 × 6371000     		dl = 434.693330000723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20704614-1.20697791) × R
    6.82300000001135e-05 × 6371000     		dr = 434.693330000723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42567967--0.42548792) × cos(1.20704614) × R
    0.000191749999999991 × 0.355781535785686 × 6371000     		do = 434.636688541053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42567967--0.42548792) × cos(1.20697791) × R
    0.000191749999999991 × 0.355845300610698 × 6371000     		du = 434.714586154056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20704614)-sin(1.20697791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355781535785686-0.355845300610698)×R²
    abs(-0.42548792--0.42567967)×6.37648250115808e-05×R²
    0.000191749999999991×6.37648250115808e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.37648250115808e-05×40589641000000     		ar = 188950.600342128m²