Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14164 / 7469
↖ ↑ ↗
← N 69.484523°
W 24.389649°		 ← 428.14 m → N 69.484523°
W 24.378662°		 →
↑
428.19 m
↓
↑
428.19 m
↓
N 69.480672°
W 24.389649°		 ← 428.21 m →
183 342 m²		 N 69.480672°
W 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432266235351562 y=0.227951049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432266235351562 × 215)
    floor (0.432266235351562 × 32768)
    floor (14164.5)     		tx = 14164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227951049804688 × 215)
    floor (0.227951049804688 × 32768)
    floor (7469.5)     		ty = 7469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14164 / 7469 ti = "15/14164/7469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14164/7469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14164 ÷ 215
    14164 ÷ 32768     		x = 0.4322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7469 ÷ 215
    7469 ÷ 32768     		y = 0.227935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42567967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227935791015625 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7094298404512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42567967} λ = -0.42567967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7094298404512))-π/2
    2×atan(5.52580998595451)-π/2
    2×1.39176501154627-π/2
    2.78353002309254-1.57079632675     		φ = 1.21273370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42567967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.389649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21273370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.484523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14164 KachelY 7469 -0.42567967 1.21273370 -24.389649 69.484523
    Oben rechts KachelX + 1 14165 KachelY 7469 -0.42548792 1.21273370 -24.378662 69.484523
    Unten links KachelX 14164 KachelY + 1 7470 -0.42567967 1.21266649 -24.389649 69.480672
    Unten rechts KachelX + 1 14165 KachelY + 1 7470 -0.42548792 1.21266649 -24.378662 69.480672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21273370-1.21266649) × R
    6.72100000000952e-05 × 6371000     		dl = 428.194910000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21273370-1.21266649) × R
    6.72100000000952e-05 × 6371000     		dr = 428.194910000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42567967--0.42548792) × cos(1.21273370) × R
    0.000191749999999991 × 0.350460391864948 × 6371000     		do = 428.13617027258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42567967--0.42548792) × cos(1.21266649) × R
    0.000191749999999991 × 0.350523338450724 × 6371000     		du = 428.213068292418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21273370)-sin(1.21266649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350460391864948-0.350523338450724)×R²
    abs(-0.42548792--0.42567967)×6.29465857768796e-05×R²
    0.000191749999999991×6.29465857768796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.29465857768796e-05×40589641000000     		ar = 183342.192637048m²