Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14164 / 11066
↖ ↑ ↗
← N 75.767046°
W102.194824°		 ← 150.17 m → N 75.767046°
W102.189331°		 →
↑
150.16 m
↓
↑
150.16 m
↓
N 75.765695°
W102.194824°		 ← 150.19 m →
22 551 m²		 N 75.765695°
W102.189331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216133117675781 y=0.168861389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216133117675781 × 216)
    floor (0.216133117675781 × 65536)
    floor (14164.5)     		tx = 14164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168861389160156 × 216)
    floor (0.168861389160156 × 65536)
    floor (11066.5)     		ty = 11066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14164 / 11066 ti = "16/14164/11066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14164/11066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14164 ÷ 216
    14164 ÷ 65536     		x = 0.21612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11066 ÷ 216
    11066 ÷ 65536     		y = 0.168853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.5677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78363616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168853759765625 × 2 - 1) × π
    0.66229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08065319110892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78363616} λ = -1.78363616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08065319110892))-π/2
    2×atan(8.00969907018248)-π/2
    2×1.44659037079933-π/2
    2.89318074159866-1.57079632675     		φ = 1.32238441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78363616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.194824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32238441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.767046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14164 KachelY 11066 -1.78363616 1.32238441 -102.194824 75.767046
    Oben rechts KachelX + 1 14165 KachelY 11066 -1.78354029 1.32238441 -102.189331 75.767046
    Unten links KachelX 14164 KachelY + 1 11067 -1.78363616 1.32236084 -102.194824 75.765695
    Unten rechts KachelX + 1 14165 KachelY + 1 11067 -1.78354029 1.32236084 -102.189331 75.765695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32238441-1.32236084) × R
    2.35699999999728e-05 × 6371000     		dl = 150.164469999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32238441-1.32236084) × R
    2.35699999999728e-05 × 6371000     		dr = 150.164469999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78363616--1.78354029) × cos(1.32238441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245864934379813 × 6371000     		do = 150.171294991039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78363616--1.78354029) × cos(1.32236084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245887780809102 × 6371000     		du = 150.185249310637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32238441)-sin(1.32236084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245864934379813-0.245887780809102)×R²
    abs(-1.78354029--1.78363616)×2.28464292888753e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28464292888753e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28464292888753e-05×40589641000000     		ar = 22551.4406443866m²