Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14163 / 7550
↖ ↑ ↗
← N 69.170373°
W 24.400635°		 ← 434.40 m → N 69.170373°
W 24.389649°		 →
↑
434.44 m
↓
↑
434.44 m
↓
N 69.166466°
W 24.400635°		 ← 434.48 m →
188 738 m²		 N 69.166466°
W 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432235717773438 y=0.230422973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432235717773438 × 215)
    floor (0.432235717773438 × 32768)
    floor (14163.5)     		tx = 14163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230422973632812 × 215)
    floor (0.230422973632812 × 32768)
    floor (7550.5)     		ty = 7550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14163 / 7550 ti = "15/14163/7550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14163/7550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14163 ÷ 215
    14163 ÷ 32768     		x = 0.432220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7550 ÷ 215
    7550 ÷ 32768     		y = 0.23040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42587142} λ = -0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6938982849743))-π/2
    2×atan(5.44064861780377)-π/2
    2×1.3890235364964-π/2
    2.7780470729928-1.57079632675     		φ = 1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14163 KachelY 7550 -0.42587142 1.20725075 -24.400635 69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 14164 KachelY 7550 -0.42567967 1.20725075 -24.389649 69.170373
    Unten links KachelX 14163 KachelY + 1 7551 -0.42587142 1.20718256 -24.400635 69.166466
    Unten rechts KachelX + 1 14164 KachelY + 1 7551 -0.42567967 1.20718256 -24.389649 69.166466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20725075-1.20718256) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dl = 434.438490000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20725075-1.20718256) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dr = 434.438490000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42587142--0.42567967) × cos(1.20725075) × R
    0.000191749999999991 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 434.403074906845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42587142--0.42567967) × cos(1.20718256) × R
    0.000191749999999991 × 0.355654038551823 × 6371000     		du = 434.480932915899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20725075)-sin(1.20718256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355654038551823)×R²
    abs(-0.42567967--0.42587142)×6.37324063175182e-05×R²
    0.000191749999999991×6.37324063175182e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.37324063175182e-05×40589641000000     		ar = 188738.328245819m²