Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14163 / 11067
↖ ↑ ↗
← N 75.765695°
W102.200317°		 ← 150.19 m → N 75.765695°
W102.194824°		 →
↑
150.16 m
↓
↑
150.16 m
↓
N 75.764345°
W102.200317°		 ← 150.20 m →
22 554 m²		 N 75.764345°
W102.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216117858886719 y=0.168876647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216117858886719 × 216)
    floor (0.216117858886719 × 65536)
    floor (14163.5)     		tx = 14163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168876647949219 × 216)
    floor (0.168876647949219 × 65536)
    floor (11067.5)     		ty = 11067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14163 / 11067 ti = "16/14163/11067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14163/11067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14163 ÷ 216
    14163 ÷ 65536     		x = 0.216110229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11067 ÷ 216
    11067 ÷ 65536     		y = 0.168869018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216110229492188 × 2 - 1) × π
    -0.567779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.78373203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168869018554688 × 2 - 1) × π
    0.662261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08055731730968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78373203} λ = -1.78373203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08055731730968))-π/2
    2×atan(8.00893118671239)-π/2
    2×1.44657858424922-π/2
    2.89315716849843-1.57079632675     		φ = 1.32236084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78373203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.200317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32236084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.765695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14163 KachelY 11067 -1.78373203 1.32236084 -102.200317 75.765695
    Oben rechts KachelX + 1 14164 KachelY 11067 -1.78363616 1.32236084 -102.194824 75.765695
    Unten links KachelX 14163 KachelY + 1 11068 -1.78373203 1.32233727 -102.200317 75.764345
    Unten rechts KachelX + 1 14164 KachelY + 1 11068 -1.78363616 1.32233727 -102.194824 75.764345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32236084-1.32233727) × R
    2.35699999999728e-05 × 6371000     		dl = 150.164469999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32236084-1.32233727) × R
    2.35699999999728e-05 × 6371000     		dr = 150.164469999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78373203--1.78363616) × cos(1.32236084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245887780809102 × 6371000     		do = 150.185249310637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78373203--1.78363616) × cos(1.32233727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245910627101789 × 6371000     		du = 150.1992035468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32236084)-sin(1.32233727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245887780809102-0.245910627101789)×R²
    abs(-1.78363616--1.78373203)×2.28462926871731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28462926871731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28462926871731e-05×40589641000000     		ar = 22553.5360805784m²