Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14163 / 11042
↖ ↑ ↗
← N 50.499452°
W 24.400635°		 ← 777.07 m → N 50.499452°
W 24.389649°		 →
↑
777.13 m
↓
↑
777.13 m
↓
N 50.492463°
W 24.400635°		 ← 777.18 m →
603 930 m²		 N 50.492463°
W 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432235717773438 y=0.336990356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432235717773438 × 215)
    floor (0.432235717773438 × 32768)
    floor (14163.5)     		tx = 14163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336990356445312 × 215)
    floor (0.336990356445312 × 32768)
    floor (11042.5)     		ty = 11042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14163 / 11042 ti = "15/14163/11042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14163/11042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14163 ÷ 215
    14163 ÷ 32768     		x = 0.432220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11042 ÷ 215
    11042 ÷ 32768     		y = 0.33697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33697509765625 × 2 - 1) × π
    0.3260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02431567108136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42587142} λ = -0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02431567108136))-π/2
    2×atan(2.78518882300119)-π/2
    2×1.22608901822184-π/2
    2.45217803644369-1.57079632675     		φ = 0.88138171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88138171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.499452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14163 KachelY 11042 -0.42587142 0.88138171 -24.400635 50.499452
    Oben rechts KachelX + 1 14164 KachelY 11042 -0.42567967 0.88138171 -24.389649 50.499452
    Unten links KachelX 14163 KachelY + 1 11043 -0.42587142 0.88125973 -24.400635 50.492463
    Unten rechts KachelX + 1 14164 KachelY + 1 11043 -0.42567967 0.88125973 -24.389649 50.492463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88138171-0.88125973) × R
    0.000121979999999966 × 6371000     		dl = 777.134579999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88138171-0.88125973) × R
    0.000121979999999966 × 6371000     		dr = 777.134579999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42587142--0.42567967) × cos(0.88138171) × R
    0.000191749999999991 × 0.636085598721362 × 6371000     		do = 777.067133757728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42587142--0.42567967) × cos(0.88125973) × R
    0.000191749999999991 × 0.636179716013685 × 6371000     		du = 777.182111136133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88138171)-sin(0.88125973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636085598721362-0.636179716013685)×R²
    abs(-0.42567967--0.42587142)×9.41172923225597e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41172923225597e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41172923225597e-05×40589641000000     		ar = 603930.417821581m²