Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14162 / 18246
↖ ↑ ↗
← N 78.167204°
W141.102905°		 ← 62.63 m → N 78.167204°
W141.100158°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.166640°
W141.102905°		 ← 62.63 m →
3 922 m²		 N 78.166640°
W141.100158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108051300048828 y=0.139209747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108051300048828 × 217)
    floor (0.108051300048828 × 131072)
    floor (14162.5)     		tx = 14162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139209747314453 × 217)
    floor (0.139209747314453 × 131072)
    floor (18246.5)     		ty = 18246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14162 / 18246 ti = "17/14162/18246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14162/18246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14162 ÷ 217
    14162 ÷ 131072     		x = 0.108047485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18246 ÷ 217
    18246 ÷ 131072     		y = 0.139205932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108047485351562 × 2 - 1) × π
    -0.783905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46271028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139205932617188 × 2 - 1) × π
    0.721588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26693598303246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46271028} λ = -2.46271028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26693598303246))-π/2
    2×atan(9.649788355448)-π/2
    2×1.46753569747711-π/2
    2.93507139495422-1.57079632675     		φ = 1.36427507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46271028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.102905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36427507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.167204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14162 KachelY 18246 -2.46271028 1.36427507 -141.102905 78.167204
    Oben rechts KachelX + 1 14163 KachelY 18246 -2.46266234 1.36427507 -141.100158 78.167204
    Unten links KachelX 14162 KachelY + 1 18247 -2.46271028 1.36426524 -141.102905 78.166640
    Unten rechts KachelX + 1 14163 KachelY + 1 18247 -2.46266234 1.36426524 -141.100158 78.166640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36427507-1.36426524) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36427507-1.36426524) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46271028--2.46266234) × cos(1.36427507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20505632695585 × 6371000     		do = 62.6294804021313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46271028--2.46266234) × cos(1.36426524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205065948060151 × 6371000     		du = 62.6324189350321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36427507)-sin(1.36426524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20505632695585-0.205065948060151)×R²
    abs(-2.46266234--2.46271028)×9.62110430141605e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.62110430141605e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.62110430141605e-06×40589641000000     		ar = 3922.38410091261m²