Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14161 / 18513
↖ ↑ ↗
← N 78.015883°
W141.105652°		 ← 63.42 m → N 78.015883°
W141.102905°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.015312°
W141.105652°		 ← 63.42 m →
4 024 m²		 N 78.015312°
W141.102905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108043670654297 y=0.141246795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108043670654297 × 217)
    floor (0.108043670654297 × 131072)
    floor (14161.5)     		tx = 14161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141246795654297 × 217)
    floor (0.141246795654297 × 131072)
    floor (18513.5)     		ty = 18513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14161 / 18513 ti = "17/14161/18513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14161/18513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14161 ÷ 217
    14161 ÷ 131072     		x = 0.108039855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18513 ÷ 217
    18513 ÷ 131072     		y = 0.141242980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108039855957031 × 2 - 1) × π
    -0.783920288085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.46275822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141242980957031 × 2 - 1) × π
    0.717514038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.2541368308339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46275822} λ = -2.46275822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2541368308339))-π/2
    2×atan(9.52706629013753)-π/2
    2×1.46621517145794-π/2
    2.93243034291588-1.57079632675     		φ = 1.36163402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46275822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.105652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36163402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.015883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14161 KachelY 18513 -2.46275822 1.36163402 -141.105652 78.015883
    Oben rechts KachelX + 1 14162 KachelY 18513 -2.46271028 1.36163402 -141.102905 78.015883
    Unten links KachelX 14161 KachelY + 1 18514 -2.46275822 1.36162406 -141.105652 78.015312
    Unten rechts KachelX + 1 14162 KachelY + 1 18514 -2.46271028 1.36162406 -141.102905 78.015312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36163402-1.36162406) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36163402-1.36162406) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46275822--2.46271028) × cos(1.36163402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207640536949006 × 6371000     		do = 63.4187646516058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46275822--2.46271028) × cos(1.36162406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207650279862468 × 6371000     		du = 63.4217403881598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36163402)-sin(1.36162406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207640536949006-0.207650279862468)×R²
    abs(-2.46271028--2.46275822)×9.74291346256262e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74291346256262e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74291346256262e-06×40589641000000     		ar = 4024.34227095185m²