Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14160 / 11055
↖ ↑ ↗
← N 50.408517°
W 24.433594°		 ← 778.56 m → N 50.408517°
W 24.422607°		 →
↑
778.60 m
↓
↑
778.60 m
↓
N 50.401515°
W 24.433594°		 ← 778.68 m →
606 233 m²		 N 50.401515°
W 24.422607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432144165039062 y=0.337387084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432144165039062 × 215)
    floor (0.432144165039062 × 32768)
    floor (14160.5)     		tx = 14160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337387084960938 × 215)
    floor (0.337387084960938 × 32768)
    floor (11055.5)     		ty = 11055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14160 / 11055 ti = "15/14160/11055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14160/11055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14160 ÷ 215
    14160 ÷ 32768     		x = 0.43212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11055 ÷ 215
    11055 ÷ 32768     		y = 0.337371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337371826171875 × 2 - 1) × π
    0.32525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02182295230112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42644666} λ = -0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02182295230112))-π/2
    2×atan(2.77825477642012)-π/2
    2×1.22529546436812-π/2
    2.45059092873623-1.57079632675     		φ = 0.87979460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87979460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.408517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14160 KachelY 11055 -0.42644666 0.87979460 -24.433594 50.408517
    Oben rechts KachelX + 1 14161 KachelY 11055 -0.42625491 0.87979460 -24.422607 50.408517
    Unten links KachelX 14160 KachelY + 1 11056 -0.42644666 0.87967239 -24.433594 50.401515
    Unten rechts KachelX + 1 14161 KachelY + 1 11056 -0.42625491 0.87967239 -24.422607 50.401515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87979460-0.87967239) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dl = 778.599910000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87979460-0.87967239) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dr = 778.599910000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42644666--0.42625491) × cos(0.87979460) × R
    0.000191749999999991 × 0.637309440522757 × 6371000     		do = 778.562226938102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42644666--0.42625491) × cos(0.87967239) × R
    0.000191749999999991 × 0.637403611766001 × 6371000     		du = 778.677270225071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87979460)-sin(0.87967239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637309440522757-0.637403611766001)×R²
    abs(-0.42625491--0.42644666)×9.41712432442898e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41712432442898e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41712432442898e-05×40589641000000     		ar = 606233.266924761m²