Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14158 / 7313
↖ ↑ ↗
← N 70.076819°
W 24.455566°		 ← 416.26 m → N 70.076819°
W 24.444580°		 →
↑
416.34 m
↓
↑
416.34 m
↓
N 70.073075°
W 24.455566°		 ← 416.34 m →
173 325 m²		 N 70.073075°
W 24.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432083129882812 y=0.223190307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432083129882812 × 215)
    floor (0.432083129882812 × 32768)
    floor (14158.5)     		tx = 14158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223190307617188 × 215)
    floor (0.223190307617188 × 32768)
    floor (7313.5)     		ty = 7313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14158 / 7313 ti = "15/14158/7313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14158/7313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14158 ÷ 215
    14158 ÷ 32768     		x = 0.43206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7313 ÷ 215
    7313 ÷ 32768     		y = 0.223175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223175048828125 × 2 - 1) × π
    0.55364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73934246581412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42683015} λ = -0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73934246581412))-π/2
    2×atan(5.69359845595962)-π/2
    2×1.39693377203862-π/2
    2.79386754407724-1.57079632675     		φ = 1.22307122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22307122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.076819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14158 KachelY 7313 -0.42683015 1.22307122 -24.455566 70.076819
    Oben rechts KachelX + 1 14159 KachelY 7313 -0.42663841 1.22307122 -24.444580 70.076819
    Unten links KachelX 14158 KachelY + 1 7314 -0.42683015 1.22300587 -24.455566 70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 14159 KachelY + 1 7314 -0.42663841 1.22300587 -24.444580 70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22307122-1.22300587) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dl = 416.344850000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22307122-1.22300587) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dr = 416.344850000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42683015--0.42663841) × cos(1.22307122) × R
    0.000191739999999996 × 0.340759949425581 × 6371000     		do = 416.264019229918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42683015--0.42663841) × cos(1.22300587) × R
    0.000191739999999996 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 416.339070506285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22307122)-sin(1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340759949425581-0.340821387522457)×R²
    abs(-0.42663841--0.42683015)×6.14380968753103e-05×R²
    0.000191739999999996×6.14380968753103e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.14380968753103e-05×40589641000000     		ar = 173325.004314306m²